Neden sıfıra bölmüyoruz?
Okuyucular neden bütün bir makaleyi böyle sıradan bir konuya adadığımı merak edebilirler. Bunun nedeni, adı altında operasyonu gelişigüzel gerçekleştiren öğrencilerin (!) şaşırtıcı sayıda olmasıdır. Ve sadece öğrenciler değil. Bazen öğretmenleri de yakalarım. Bu tür öğretmenlerin öğrencileri matematikte ne yapabilecekler? Bu metni yazmanın acil nedeni, sıfıra bölmenin sorun olmadığı bir öğretmenle yapılan konuşmaydı ...
Sıfır ile, evet, hiçbir şeyin zorluğu dışında, çünkü günlük hayatta gerçekten kullanmamıza gerek yok. Sıfır yumurta için alışverişe gitmeyiz. “Odada bir kişi var” kulağa bir şekilde doğal geliyor ve “sıfır insan” kulağa yapay geliyor. Dilbilimciler, sıfırın dil sisteminin dışında olduğunu söylüyorlar.
Banka hesaplarında sıfır olmadan da yapabiliriz: sadece - bir termometrede olduğu gibi - pozitif ve negatif değerler için kırmızı ve mavi kullanın (sıcaklık için pozitif sayılar için kırmızı kullanmanın doğal olduğunu ve banka hesapları için tam tersidir, çünkü borç bir uyarıyı tetiklemelidir, bu nedenle kırmızı şiddetle tavsiye edilir).
Sıfırı doğal sayı olarak dahil ederek türev alma sorununa değinmiş oluyoruz. Kardinal sayılar od ev halkı. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, ….. içinde
sayının kuvveti bulunduğu yerin sayısına eşittir. Aksi halde zaten 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, ….. dizisindedir.
Tekil kümelerin sayısı ikinci, iki öğeli kümelerin sayısı üçüncü sırada gelir ve bu böyle devam eder. Örneğin sporcuların müsabakalardaki yerlerini neden sıfırdan numaralandırmadığımızı açıklamak zorundayız. Sonra birinci olan gümüş madalya alacaktı (altın sıfır olana gitti) vb. Futbolda biraz benzer bir prosedür kullanıldı - Okurların "birinci lig"in "birinci lig" anlamına geldiğini bilip bilmediğini bilmiyorum. en iyinin peşinden." ", ve sıfır lig "büyük lig" olmaya çağrılır.
Bazen BT çalışanları için uygun olduğu için sıfırdan başlamamız gerektiği argümanını duyuyoruz. Bu düşüncelere devam ederek, kilometre tanımı değiştirilmelidir - 1024 m olmalıdır, çünkü bu bir kilobayttaki bayt sayısıdır (bilgisayar bilimcilerinin bildiği bir şakaya atıfta bulunacağım: "Birinci sınıf öğrencisi ile birinci sınıf öğrencisi arasındaki fark nedir? bir bilgisayar bilimi öğrencisi ve bu fakültenin beşinci sınıf öğrencisi? bir kilobayt 1000 kilobayttır, sonuncusu - bir kilometre 1024 metredir")!
Halihazırda ciddiye alınması gereken bir başka bakış açısı da şudur: Biz her zaman sıfırdan ölçüm yaparız! Cetveldeki herhangi bir teraziye, ev terazisine, hatta saate bakmak yeterlidir. Sıfırdan ölçtüğümüze ve sayma, boyutsuz bir birimle bir ölçüm olarak anlaşılabileceğine göre, sıfırdan saymalıyız.
Basit bir konu ama...
Genel mantığı bir yana bırakıp sıfıra bölme işlemine dönelim. Mesele basit ve olmasaydı basit olurdu ... ne olmuş yani? Düşünelim ve deneyelim. Ne kadar olabilir - bir bölü sıfır? Bakalım: 1/0 = x. Her iki tarafı da sol tarafın paydasıyla çarp.
1=0 alırız. Bir şey yanlış! Ne oldu? Ah tahmin et! Birlik bölümü ve sıfır olduğu varsayımı bir çelişkiye yol açar. Ve eğer biri sıfıra bölünemiyorsa, o zaman başka bir sayı da bölünebilir. Okuyucu, omuzlarınızı silkiyor ve yazarın (yani benim) neden böyle basmakalıp sözler yazdığını merak ediyorsanız, o zaman ... Çok sevindim!
0/0 = 0 formülü inatçı bir temelde savunulabilir, ancak bir sayının kendisine bölünmesinin sonucunun bire eşit olduğu kuralıyla çelişir. Matematikte 0/0, °/° ve benzerleri gibi semboller kesinlikle, ancak oldukça farklıdır. Herhangi bir sayı anlamına gelmezler, ancak belirli türlerin belirli dizileri için sembolik tanımlamalardır.
Bir elektrik mühendisliği kitabında ilginç bir karşılaştırma buldum: sıfıra bölmek, yüksek voltajlı elektrik kadar tehlikelidir. Bu normaldir: Ohm yasası, voltajın dirence oranının akıma eşit olduğunu belirtir: V = U / R. Direnç sıfır olsaydı, teorik olarak sonsuz bir akım iletkenden akarak olası tüm iletkenleri yakardı.
Bir keresinde haftanın her günü için sıfıra bölmenin tehlikeleri hakkında bir şiir yazmıştım. En dramatik günün Perşembe olduğunu hatırlıyorum, ancak bu alandaki tüm çalışmalarıma yazık.
Bir şeyi sıfıra böldüğünüzde
Pazartesi çok erken
Hafta az önce ne oldu
Zaten sefil bir şekilde başarısız oldun.
Salı öğleden sonra
paydaya sıfır koyarsın
o zaman söylerim yanılırsın
Kötü matematikçi!
Sıfırdan, sapıklıktan geçtiğinde,
Çarşamba günü ayrılmak istiyorum
çok sıkıntı yaşarsın
Kafanda saman ve su var!
Belli bir Bartek bizimleydi.
Kurallara aykırıydı.
Perşembe günü sıfıra bölünür.
O artık aramızda değil!
Tuhaf bir arzu seni ele geçirirse
Cuma günü sıfıra bölün
Dürüst olacağım, dürüst olacağım:
Bu hafta sonuna kötü bir başlangıç.
Sıfır olduğunda, Cumartesi günü bir yerde
Bölücü sizin olacak (kalın değil)
Kilise çitinin altında diz çök.
Bu senin dirilişin.
Çizginin altında sıfır ister misin,
Pazar günü tatil yapmak
Tebeşir, kara tahta getirin.
Yaz: sıfıra bölünemez!
Sıfır, boşluk ve hiçlik ile ilişkilidir. Gerçekten de matematiğe, herhangi birine eklendiğinde onu değiştirmeyen bir nicelik olarak geldi: x + 0 = x. Ancak şimdi sıfır, diğer birçok değerde, özellikle de şu şekilde görünüyor: ölçek başlangıcı. Pencerenin dışında ne pozitif sıcaklık ne de don yoksa, o zaman ... bu sıfırdır, bu hiç sıcaklık olmadığı anlamına gelmez. Sıfır sınıf bir anıt, uzun süredir yıkılmış ve basitçe var olmayan bir anıt değildir. Aksine Wawel, Eyfel Kulesi ve Özgürlük Anıtı gibi bir şey.
Konumsal bir sistemde sıfırın önemi fazla tahmin edilemez. Okur, Bill Gates'in banka hesabında kaç tane sıfır olduğunu biliyor musun? Bilmiyorum ama yarısını istiyorum. Görünüşe göre Napolyon Bonapart, insanların sıfırlar gibi olduğunu fark etti: onlar konum aracılığıyla anlam kazanıyorlar. Andrzej Wajda'nın As the Years, As the Days Pass adlı eserinde tutkulu sanatçı Jerzy patlıyor: "Philister sıfır, nihil, hiçbir şey, hiçbir şey, nihil, sıfır." Ancak sıfır iyi olabilir: “normdan sıfır sapma” her şeyin yolunda gittiği anlamına gelir ve böyle devam edin!
Matematiğe geri dönelim. Sıfır eklenebilir, çıkarılabilir ve cezasız bir şekilde çarpılabilir. Manya, Anya'ya “Sıfır kilo aldım” diyor. Anya, “Ve bu ilginç çünkü aynı kiloyu verdim” diye yanıtlıyor. O halde altı kere altı sıfır porsiyon dondurma yiyelim, bize zararı olmaz.
Sıfıra bölemeyiz ama sıfıra bölebiliriz. Yemek bekleyenlere bir tabak sıfır köfte kolayca dağıtılabilir. Her biri ne kadar alacak?
Sıfır, pozitif veya negatif değildir. Bu ve sayı pozitif olmayanи negatif olmayan. x≥0 ve x≤0 eşitsizliklerini sağlar. "Olumlu bir şey" çelişkisi "olumsuz bir şey" değil, "olumsuz veya sıfıra eşit bir şey" dir. Matematikçiler, dilin kurallarına aykırı olarak, her zaman bir şeyin "sıfıra eşit" olduğunu ve "sıfır" olmadığını söyleyeceklerdir. Bu uygulamayı doğrulamak için, elimizde: x = 0 "x eşittir sıfır" formülünü okursak, o zaman x = 1 "x eşittir bir" okuruz, ki bu yutulabilir, peki ya "x = 1534267" ? Ayrıca 0 karakterine sayısal bir değer atayamazsınız.0ne de sıfırı negatif bir güce yükseltmeyin. Öte yandan, istediğiniz zaman sıfırı köklendirebilirsiniz... ve sonuç her zaman sıfır olacaktır.
Üstel fonksiyon y = ax, a'nın pozitif tabanı asla sıfır olmaz. Sıfır logaritma olmadığı sonucu çıkar. Gerçekten de, a'nın b tabanına göre logaritması, a'nın logaritmasını elde etmek için tabanın yükseltilmesi gereken üsdür. a = 0 için böyle bir gösterge yoktur ve sıfır logaritmanın tabanı olamaz. Ancak Newton'un sembolünün "payda"sındaki sıfır başka bir şeydir. Bu uzlaşımların bir çelişkiye yol açmadığını varsayıyoruz.
yanlış kanıt
Sıfıra bölme, yanlış ispatlar için yaygın bir konudur ve deneyimli matematikçilere bile olur. Size en sevdiğim iki örneği vereyim. Birincisi cebirsel. Tüm sayıların eşit olduğunu "kanıtlayacağım". Diyelim ki birbirine eşit olmayan iki sayı var. Bu nedenle biri diğerinden büyüktür, a > b olsun. Diyelim ki c onların farkı
c \uXNUMXd a - b. Yani a - b = c'ye sahibiz, dolayısıyla a = b + c.
İkincisinin her iki bölümünü de a - b ile çarpıyoruz:
a2 – ab = ab + ac – b2 – bc.
Ak'ı sola çeviriyorum, tabii ki işareti değiştirmeyi hatırlıyorum:
a2 - ab - ac = ab - b2 - bc.
Ortak faktörleri hariç tutuyorum:
A (a-b-c) \uXNUMXd b (a-b-c),
Paylaşıyorum ve istediğim şeye sahibim:
bir = b.
Ve aslında daha da garip, çünkü a > b olduğunu varsaydım ve a = b olduğunu anladım Yukarıdaki örnekte "aldatma"yı tanımak kolaysa, aşağıdaki geometrik ispatta o kadar kolay değildir. Bunu kanıtlayacağım ... yamuğun var olmadığını. Yaygın olarak yamuk olarak adlandırılan şekil mevcut değildir.
Ama önce yamuk diye bir şey olduğunu varsayalım (aşağıdaki şekilde ABCD). İki paralel kenarı ("taban") vardır. Bu tabanları resimdeki gibi uzatalım, böylece bir paralelkenar elde edelim. Köşegenleri, yamuğun diğer köşegenini uzunlukları x, y, z ile gösterilen parçalara böler. şekil 1. Karşılık gelen üçgenlerin benzerliğinden oranları elde ederiz:
tanımladığımız yer:
Oraz
tanımladığımız yer:
Yıldızlarla işaretlenmiş eşitliğin taraflarını çıkarın:
Her iki tarafı da x − z kısaltarak – a/b = 1 elde ederiz, bu da a + b = 0 anlamına gelir. Ancak a, b sayıları yamuğun taban uzunluklarıdır. Toplamları sıfırsa, o zaman onlar da sıfırdır. Bu, yamuk gibi bir figürün var olamayacağı anlamına gelir! Ve dikdörtgenler, eşkenar dörtgenler ve kareler de yamuk olduğundan, o zaman sevgili Okur, eşkenar dörtgen, dikdörtgen ve kare de yoktur ...
Tahmin et tahmin et
Bilgi paylaşımı, dört temel aktivitenin en ilginç ve en zorudur. Burada ilk kez yetişkinlikte çok yaygın olan bir fenomenle karşılaşıyoruz: "cevabı tahmin et ve sonra doğru tahmin edip etmediğini kontrol et." Bu, Daniel K. Dennett tarafından (“How to Make Mistakes?”, How It Is – A Scientific Guide to the Universe, CiS, Varşova, 1997) tarafından çok uygun bir şekilde ifade edilir:
Bu "tahmin etme" yöntemi, yetişkin yaşamımıza müdahale etmez - belki de bunu erken öğrendiğimiz ve tahmin etmenin zor olmadığı için. İdeolojik olarak, aynı fenomen, örneğin matematiksel (tam) tümevarımda ortaya çıkar. Aynı yerde, formülü “tahmin ederiz” ve ardından tahminimizin doğru olup olmadığını kontrol ederiz. Öğrenciler her zaman şunu sorar: “Örneği nasıl biliyorduk? Nasıl çıkarılabilir?" Öğrenciler bana bu soruyu sorduğunda, sorularını şakaya çeviriyorum: "Bunu biliyorum çünkü ben profesyonelim, çünkü bunu bilmem için para alıyorum." Okuldaki öğrencilere aynı tarzda, ancak daha ciddi şekilde cevap verilebilir.
egzersiz. Toplama ve çarpma işlemine en düşük birim ile ve bölme işlemine en yüksek birim ile başladığımızı unutmayın.
İki fikrin birleşimi
Matematik öğretmenleri her zaman yetişkin ayrımı dediğimiz şeyin kavramsal olarak farklı iki fikrin birleşimi olduğuna dikkat çekmiştir: konut i ayırma.
İlki (konut) arketipin olduğu görevlerde ortaya çıkar:
böl-böl Bunlar aşağıdaki gibi görevlerdir:
? (Julian Zgozalewicz'in 1892'de Krakow'da yayınlanan el kitabından alınan bu sorunun orijinal stilini koruyoruz - złoty, XNUMX. yüzyılın başına kadar Avusturya-Macaristan İmparatorluğu'nda dolaşımda olan para birimi olan Ren zlotisi).
Şimdi iki sorunu düşünün Lehçe en eski matematik ders kitabı, baba Tomasz Clos (1538). Bir bölünme mi yoksa bir coupe mi? XNUMX. yüzyıldaki okul çocuklarının yapması gerektiği gibi çözün:
(Lehçe'den Lehçe'ye çeviri: Bir fıçıda bir litre ve dört kap var. Bir çömlek dört litredir. Birisi ticaret için 20 zł'ye 50 varil şarap satın aldı. Vergi ve vergi (tüketim?) 8 zł olacak. Ne kadar 8 zł kazanmak için bir litre sat?)
Spor, fizik, uyum
Bazen sporda bir şeyi sıfıra bölmeniz gerekir (hedef oranı). Eh, yargıçlar bir şekilde bununla ilgilenir. Ancak soyut cebirde gündemdeler. sıfır olmayan miktarlarkaresi sıfır olan Hatta basitçe anlatılabilir.
Bir (y, 0) noktası ile (x, y) düzlemindeki bir noktayı ilişkilendiren bir F fonksiyonu düşünün. F nedir2, yani, F'nin çift uygulaması? Sıfır işlevi - her noktanın bir görüntüsü vardır (0,0).
Son olarak, karesi 0 olan sıfırdan farklı nicelikler fizikçiler için neredeyse günlük ekmek ve a + bε biçimindeki sayılardır, burada ε ≠ 0, ancak ε2 = 0, matematikçiler arar çift sayılar. Matematiksel analizde ve diferansiyel geometride ortaya çıkarlar.
Sonuçta, aritmetikte en azından adında sıfıra bölme olan bir şey var. Dan gelir uyum. Z tamsayılar kümesini göstersin. Z kümesini p'ye bölmek, her sayıyı (tamsayıyı) diğerlerine, yani farklarının bölünebilir olduğu sayılara eşitlediğimiz anlamına gelir. Yani, 0, 1, 2, 3, 4 sayılarına karşılık gelen beş tür sayımız olduğunda - 5'e bölündüğünde olası kalanlar. Formül şöyle yazılır:
fark bir kat olduğunda mod.
= 2 için sadece iki sayımız var: 0 ve 1. Tam sayıları bu tür iki sınıfa bölmek, onları çift ve tek olarak bölmekle eşdeğerdir. Şimdi değiştirelim. Fark her zaman 1'e bölünebilir (her tam sayı 1'e bölünebilir). =0 alınabilir mi? Deneyelim: iki sayının farkı ne zaman sıfırın katı olur? Sadece bu iki sayı eşit olduğunda. Bu nedenle, bir tamsayı kümesini sıfıra bölmek mantıklıdır, ancak bu ilginç değil: hiçbir şey olmuyor. Ancak bunun ilkokuldan itibaren bilinen anlamıyla sayılarla bölme işlemi olmadığı vurgulanmalıdır.
Bu tür eylemler, uzun ve geniş matematiğin yanı sıra basitçe yasaktır.
Pirinç. 2. Karşılaştırma kullanarak sayıların tanımlanması
(mod 5 ve mod 2)
