Karmaşık davranışa sahip basit modeller, yani kaos

Bilgisayar, bilim adamları tarafından doğanın dikkatlice gizlediği sırları ortaya çıkarmak için giderek daha fazla kullanılan bir araçtır. Deney ve teori ile birlikte modelleme, dünyayı incelemenin üçüncü yolu haline geliyor.

Üç yıl önce Silesia Üniversitesi'nde bilgisayar yöntemlerini eğitime entegre etmek için bir program başlattık. Sonuç olarak, birçok konuyu incelemeyi daha kolay ve daha derin hale getiren son derece heyecan verici birçok öğretici materyal oluşturuldu. Python, mevcut bilimsel kitaplıkların gücüyle birlikte denklemler, görüntüler veya verilerle "bilgisayar deneyleri" için muhtemelen en iyi çözüm olan ana araç olarak seçildi. Eksiksiz bir tezgahın en ilginç uygulamalarından biri Sage [2] dir. Python dili ile bir bilgisayar cebir sisteminin açık bir entegrasyonudur ve ayrıca bir web tarayıcısı ve olası erişim seçeneklerinden birini kullanarak bir bulut hizmeti [3] veya üzerinde etkileşimli yazılımın bulunduğu tek bir bilgi işlem sunucusu kullanarak hemen oynamaya başlamanıza olanak tanır. Bu makalenin versiyonu [4] dayanmaktadır.

Ekolojide kaos

Oxford Üniversitesi'ndeki ilk yıllarında Avustralyalı bilim adamı Robert May, demografik dinamiklerin teorik yönlerini inceledi. Çalışmalarını Nature dergisinde "Çok Karmaşık Dinamiklere Sahip Basit Matematiksel Modeller" [1] başlığı altında yayınlanan bir makalede özetledi. Yıllar geçtikçe, bu makale teorik ekolojide en çok alıntı yapılan çalışmalardan biri haline geldi. Bu işe bu kadar ilgi neden oldu?

Popülasyon dinamiğinin klasik sorunu, belirli bir türün mevcut durumu göz önüne alındığında gelecekteki popülasyonunu hesaplamaktır. Matematiksel olarak, ekosistemler, popülasyonun bir neslinin yaşamının bir mevsim sürdüğü en basit olarak kabul edildi. Kelebekler gibi bir mevsimde tamamen başkalaşım geçiren bir böcek popülasyonu buna iyi bir örnektir. Zaman, doğal olarak, nüfusun yaşam döngülerine karşılık gelen ayrık dönemlere2 bölünmüştür. Böylece, böyle bir ekosistemi tanımlayan denklemler doğal olarak sözde ayrık zaman, yani t = 1,2,3…. Robert May, diğer şeylerin yanı sıra bu tür dinamiklerle ilgilendi. Akıl yürütmesinde, ekosistemi, nüfusu önceki yılın nüfusunun ikinci dereceden bir fonksiyonu olan tek bir türe basitleştirdi. Bu model nereden geldi?

Bir popülasyonun evrimini tanımlayan en basit ayrık denklem, doğrusal bir modeldir:

burada Ni, i. sezondaki bolluğu ve Ni + 1 ise bir sonraki sezondaki popülasyonu tanımlar. Böyle bir denklemin üç senaryoya yol açabileceğini görmek kolaydır. a = 1 olduğunda evrim popülasyonun büyüklüğünü değiştirmez ve <1 yok olmaya yol açar ve a > 1 durumu sınırsız nüfus artışı anlamına gelir. Bu, doğada bir dengesizliğe yol açacaktır. Doğadaki her şey sınırlı olduğundan, sınırlı miktardaki kaynakları hesaba katmak için bu denklemi ayarlamak mantıklıdır. Zararlıların her yıl tamamen aynı olan tahılları yediğini hayal edin. Böcekler, üretebilecekleri yiyecek miktarına göre az ise, matematiksel olarak a > 1 sabiti ile belirlenen tam üreme gücünde çoğalabilirler. Ancak, haşere sayısı arttıkça yiyecek kıt olacak ve üreme kapasitesi düşecektir. Kritik bir durumda, o kadar çok böceğin doğduğunu ve üremek için zamanları olmadan tüm tahılları yediklerini ve popülasyonun öldüğünü hayal edebiliriz. Gıdaya sınırlı erişimin bu etkisini hesaba katan bir model ilk olarak 1838'de Verhulst tarafından önerildi. Bu modelde, büyüme hızı sabit değil, nüfusun durumuna bağlıdır:

Büyüme hızı a ve Ni arasındaki ilişki şu özelliğe sahip olmalıdır: nüfus artarsa, gıdaya erişim zor olduğu için büyüme hızı düşmelidir. Elbette bu özelliğe sahip birçok fonksiyon vardır: bunlar yukarıdan aşağıya fonksiyonlardır. Verhulst aşağıdaki ilişkiyi önerdi:

burada a>0 ve sabit K>0 gıda kaynaklarını karakterize eder ve çevrenin kapasitesi olarak adlandırılır. K'deki bir değişiklik nüfus artış oranını nasıl etkiler? K artarsa, Ni/K azalır. Bu da 1-Ni/K'nın büyümesine, yani büyümesine yol açar. Bu, büyüme hızının arttığı ve nüfusun daha hızlı büyüdüğü anlamına gelir. O halde, büyüme hızının denklem (1)'teki gibi değiştiğini varsayarak önceki modeli (3) değiştirelim. Sonra denklemi elde ederiz

Bu denklem özyinelemeli bir denklem olarak yazılabilir.

burada xi = Ni / K ve xi + 1 = Ni + 1 / K, i zamanında ve i + 1 zamanında yeniden ölçeklenen popülasyonları gösterir. Denklem (5), lojistik denklem olarak adlandırılır.

Bu kadar küçük bir değişiklikle modelimizin analiz edilmesi kolay gibi görünebilir. Hadi kontrol edelim. x5 = 0.5 başlangıç ​​popülasyonundan başlayarak a = 0 parametresi için denklem (0.45)'i göz önünde bulundurun. Sıralı popülasyon değerleri, özyinelemeli denklem (5) kullanılarak elde edilebilir:

x₁= balta₀(1 p₀)

x₂= balta₁(1 p₁)

x₃= balta₂(1 p₂)

(6)'daki hesaplamaları kolaylaştırmak için aşağıdaki programı kullanabiliriz (Python ile yazılmıştır ve diğer şeylerin yanı sıra Sage platformunda çalıştırılabilir. http://icse.us.edu kitabını okumanızı öneririz. .pl/e-book . ), modelimizi taklit ederek:

bir = 0.5 x = 0.45 (10) aralığındaki i için:      x \u1d a * x * (XNUMX-x)      x yazdır

Ardışık xi değerlerini hesaplıyoruz ve bunların sıfıra eğilimli olduğunu fark ediyoruz. Yukarıdaki kodu deneyerek, x0'ın başlangıç ​​değerinden bağımsız olarak bunun doğru olduğunu görmek de kolaydır. Bu, nüfusun sürekli öldüğü anlamına gelir.

Analizin ikinci aşamasında, a parametresinin değerini ae (1,3) aralığındaki herhangi bir değere yükseltiyoruz. O zaman xi dizisinin belirli bir miktarda x * > 0 olduğu ortaya çıkıyor. Bunu ekoloji açısından yorumlayarak, popülasyon büyüklüğünün mevsimden mevsime değişmeyen belirli bir düzeyde sabit olduğunu söyleyebiliriz. . x * değerinin x0 başlangıç ​​durumuna bağlı olmadığını belirtmekte fayda var. Bu, ekosistemin istikrar için çabalamasının etkisidir - nüfus, boyutunu kendi kendini besleyebilme yeteneğine göre ayarlar. Matematiksel olarak, sistemin kararlı bir sabit noktaya, yani. x = f(x) eşitliğinin sağlanması (bu, sonraki andaki durumun önceki andaki ile aynı olduğu anlamına gelir). Sage ile, popülasyonu zaman içinde çizerek bu evrimi grafiksel olarak görselleştirebiliriz.

Böyle bir stabilizasyon etkisi araştırmacılar tarafından bekleniyordu ve lojistik denklem (5) sürpriz olmasaydı fazla dikkat çekmeyecekti. Parametrenin belirli değerleri için modelin (5) öngörülemeyen bir şekilde davrandığı ortaya çıktı. İlk olarak, periyodik ve multiperiyodik durumlar vardır. İkinci olarak, her zaman adımında popülasyon, rastgele bir hareket gibi eşit olmayan bir şekilde değişir. Üçüncüsü, başlangıç ​​koşullarına büyük bir duyarlılık vardır: neredeyse ayırt edilemez iki başlangıç ​​durumu, tamamen farklı popülasyon evrimine yol açar. Tüm bu özellikler, tamamen rastgele bir harekete benzeyen ve deterministik kaos olarak adlandırılan davranışın karakteristiğidir.

Hadi bu mülkü keşfedelim!

İlk olarak, a = 3.2 parametresinin değerini ayarlayalım ve evrime bakalım. Bu sefer popülasyonun bir değil, iki sezonda bir ardışık olarak gerçekleşen iki değere ulaşması şaşırtıcı görünebilir. Ancak, sorunların burada bitmediği ortaya çıktı. a = 4 ile sistem artık tahmin edilemez. Şekil (2)'ye bakalım, yoksa bir bilgisayar kullanarak kendimiz bir sayı dizisi oluşturacağız. Sonuçlar tamamen rastgele ve biraz farklı başlangıç ​​popülasyonları için oldukça farklı görünmektedir. Ancak dikkatli okuyucu itiraz etmelidir. Deterministik bir denklemle1 tanımlanan bir sistem, çok basit bile olsa nasıl öngörülemez bir şekilde davranabilir? Pekala belki.

Bu sistemin bir özelliği, başlangıç ​​koşullarına karşı olağanüstü duyarlılığıdır. Milyonda bir farklılık gösteren iki başlangıç ​​koşuluyla başlamak yeterlidir ve sadece birkaç adımda tamamen farklı popülasyon değerleri elde edeceğiz. Bilgisayarda kontrol edelim:

bir = 4.0

x = 0.123 u=0.123+0.000001 PKK = [] (25) aralığındaki i için: x = a*x*(1-x) u = a*u*(1-u) x, y'yi yazdır

İşte basit bir deterministik evrim modeli. Ancak bu determinizm aldatıcıdır, sadece matematiksel determinizmdir. Pratik bir bakış açısından, sistem tahmin edilemez bir şekilde davranır çünkü başlangıç ​​koşullarını asla matematiksel olarak tam olarak ayarlayamayız. Aslında her şey belli bir doğrulukla belirlenir: Her ölçü aletinin belli bir doğruluğu vardır ve bu da kaos özelliği taşıyan deterministik sistemlerde pratikte öngörülemezliğe neden olabilir. Bir örnek, her zaman bir kaos özelliği sergileyen hava durumu tahmin modelleridir. Bu yüzden uzun vadeli hava tahminleri çok kötü.

Kaotik sistemlerin analizi son derece zordur. Bununla birlikte, bilgisayar simülasyonları yardımıyla kaosun birçok gizemini oldukça kolay bir şekilde çözebiliriz. A parametresinin değerlerini apsis ekseni boyunca yerleştirdiğimiz sözde çatallanma diyagramını ve ordinat ekseni boyunca lojistik haritalamanın sabit sabit noktalarını çizelim. Çok sayıda sistemi aynı anda simüle ederek ve birçok örnekleme süresinden sonra değerleri çizerek kararlı noktalar elde ediyoruz. Tahmin edebileceğiniz gibi, bu çok fazla hesaplama gerektiriyor. Aşağıdaki değerleri "dikkatlice" işlemeye çalışalım:

numpy'yi np olarak içe aktar Nx = 300 bu = 500 х = np.linspace(0,1,Nx) х = х + np.sıfır((Na,Nx)) h = np.transpoze (h) a=np.linspace(1,4,Na) a=a+np.sıfır((Nx,Na)) (100) aralığındaki i için: x=a*x*(1-x) a_,x_ için pt = [[a_,x_] zip(a.flatten(),x.flatten())] nokta (pt, beden = 1, şekil = (7,5))

Şekil (3)'e benzer bir şey almalıyız. Bu çizim nasıl yorumlanır? Örneğin, a = 3.3 parametresinin değeri ile 2 sabit sabit noktamız var (popülasyon büyüklüğü her ikinci sezonda aynıdır). Bununla birlikte, a = 3.5 parametresi için 4 sabit noktamız var (her dört mevsimde bir popülasyon aynı sayıya sahiptir) ve a = 3.56 parametresi için 8 sabit noktamız var (her sekizinci sezonda popülasyon aynı sayıya sahiptir). Ancak a≈3.57 parametresi için sonsuz sayıda sabit noktamız var (popülasyon boyutu asla tekrar etmez ve tahmin edilemez şekillerde değişir). Ancak bir bilgisayar programı ile a parametresinin kapsamını değiştirebilir ve bu diyagramın sonsuz geometrik yapısını kendi ellerimizle keşfedebiliriz.

Bu sadece buzdağının görünen kısmı. Bu denklem hakkında binlerce bilimsel makale yazıldı, ancak hala sırlarını saklıyor. Bilgisayar simülasyonunun yardımıyla, daha yüksek matematiğe başvurmadan bile doğrusal olmayan dinamikler dünyasının öncüsünü oynayabilirsiniz. Sizi lojistik denklemin birçok ilginç özelliği ve bunları görselleştirmenin ilginç yollarını içeren çevrimiçi versiyonu okumaya davet ediyoruz.

¹ Deterministik bir yasa, geleceğin benzersiz bir şekilde ilk durum tarafından belirlendiği bir yasadır. Zıt anlamlısı olasılık yasasıdır. ² Matematikte "ayrık", belirli bir sayılabilir kümeden değerler almak anlamına gelir. Bunun tersi "sürekli" dir.