Matematiğin gerçek dışı dünyasına yolculuk

Bu makaleyi bir çarşamba günü bilgisayar bilimleri fakültesindeki bir ders ve uygulamadan sonra yazdım. Bu okulun öğrencilerine, onların bilgilerine, bilime karşı tutumlarına ve en önemlisi öğrenme becerilerine yönelik eleştirilere karşı kendimi savunuyorum. Bunu... kimse onlara öğretmiyor.

Neden bu kadar savunmacıyım? Basit bir nedenden dolayı - muhtemelen etrafımdaki dünyanın henüz anlaşılmadığı bir yaştayım. Belki onlara araba kullanmak yerine atları nasıl koşumlayıp çıkaracaklarını öğretirim? Belki onlara tüy kalemle yazmayı öğretirim? Her ne kadar o kişi hakkında daha iyi bir fikrim olsa da "takip ettiğime" inanıyorum ama...

Yakın zamana kadar lisede karmaşık sayılardan bahsediyorlardı. Ve bu çarşamba günü eve geldim, işi bıraktım; neredeyse hiçbir öğrenci bunun ne olduğunu ve bu sayıların nasıl kullanılacağını henüz öğrenmemişti. Bazı insanlar matematiğe boyalı kapıya bakan kaz gibi bakarlar. Ama bana nasıl öğreneceğimi söylediklerinde de içtenlikle şaşırdım. Basitçe söylemek gerekirse, dersin her saati evde iki saatlik çalışmadır: bir ders kitabı okumak, belirli bir konudaki problemlerin çözümüne yönelik ilk eğitim vb. Bu şekilde hazırlandıktan sonra, her şeyi geliştirdiğimiz alıştırmalara geliyoruz... Hoş bir şekilde, öğrenciler görünüşe göre derste oturmanın - çoğu zaman pencereden dışarı bakmanın - bilginin kafaya gireceğini zaten garanti ettiğini düşünüyorlardı.

Durmak! Bu yeterli. Ülkenin dört bir yanından yetenekli çocukları destekleyen bir kurum olan Ulusal Çocuk Fonu'ndan arkadaşlarla ders sırasında aldığım bir soruya cevabımı açıklayacağım. Soru (ya da daha doğrusu öneri) şuydu:

— Bize gerçek olmayan sayılar hakkında bir şeyler söyleyebilir misiniz?

"Elbette" diye cevapladım. 

Sayıların gerçekliği

Pisagor, "Dost başka bir bendir, dostluk ise 220 ile 284 sayısının oranıdır" dedi. Burada önemli olan 220 sayısının bölenlerinin toplamı 284, 284 sayısının bölenlerinin toplamı da 220'dir:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284. Bu arada, İncil'deki Yakup'un Esav'a dostluğun bir işareti olarak 220 koyun ve koç verdiğini not edin (Yaratılış 32:14).

220 ve 284 sayıları arasındaki bir başka ilginç tesadüf de şudur: En büyük on yedi asal sayı 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, ve 59.

Toplamları 2x220, karelerinin toplamı 59x284'tür.

Birinci. “Gerçek sayı” kavramı yoktur. Bu, fillerle ilgili bir makale okuduktan sonra "Şimdi fil olmayanları soracağız" diye sormanıza benzer. Tam ve eksik, rasyonel ve irrasyonel vardır, ancak gerçek olmayan yoktur. Özellikle: Gerçek olmayan sayılara geçersiz denmez. Matematikte pek çok "sayı" türü vardır ve bunlar birbirlerinden -zoolojik bir karşılaştırma yapmak gerekirse- bir fil ile bir solucan kadar farklıdır.

İkinci olarak, zaten yasak olduğunu bildiğiniz işlemleri gerçekleştireceğiz: Negatif sayıların karekökünü alma. Eh, matematik bu tür engelleri aşacaktır. Peki bu mantıklı mı? Diğer bilimlerde olduğu gibi matematikte de: Bir teorinin sonsuza kadar bilgi deposuna girip girmeyeceği... onun uygulanmasına bağlıdır. Eğer işe yaramazsa önce çöpe atılır, sonra da bilgi tarihindeki bir çöpe atılır. Bu yazının sonunda bahsettiğim sayılar olmadan matematiğin gelişmesi mümkün değildir. Ama bazı küçük şeylerle başlayalım. Gerçek sayıların ne olduğunu biliyorsun. Sayı doğrusunu sıkı ve boşluksuz doldururlar. Ayrıca doğal sayıların ne olduğunu da biliyorsunuz: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …….. - hepsi sığmayacak hafıza en büyüğüdür. Ayrıca güzel bir isimleri de var: doğal. Pek çok ilginç özellikleri var. Bunu nasıl seversin:

1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218

1² + 15² + 42² + 98² + 123² + 179² + 206² + 220² = 3² + 11² + 46² + 92² + 129² + 175² + 210² + 218²

1³ + 15³ + 42³ + 98³ + 123³ + 179³ + 206³ + 220³ = 3³ + 11³ + 46³ + 92³ + 129³ + 175³ + 210³ + 218³

1⁴ + 15⁴ + 42⁴ + 98⁴ + 123⁴ + 179⁴ + 206⁴ + 220⁴ = 3⁴ + 11⁴ + 46⁴ + 92⁴ + 129⁴ + 175⁴ + 210⁴ + 218⁴

1⁵ + 15⁵ + 42⁵ + 98⁵ + 123⁵ + 179⁵ + 206⁵ + 220⁵ = 3⁵ + 11⁵ + 46⁵ + 92⁵ + 129⁵ + 175⁵ + 210⁵ + 218⁵

1⁶ + 15⁶ + 42⁶ + 98³ + 123⁶ + 179⁶ + 206⁶ + 220⁶ = 3⁶ + 11⁶ + 46⁶ + 92⁶ + 129⁶ + 175⁶ + 210⁶ + 218⁶

1⁷ + 15⁷ + 42⁷ + 98³ + 123⁷ + 179⁷ + 206⁷ + 220⁷ = 3⁷ + 11⁷ + 46⁷ + 92⁷ + 129⁷ + 175⁷ + 210⁷ + 218⁷

Carl Lindenholm "Doğal sayılarla ilgilenmek doğaldır" dedi ve Leopold Kronecker (1823-1891) kısa ve öz bir şekilde ifade etti: "Doğal sayıları Tanrı yarattı; geri kalan her şey insan işidir!" Kesirlerin (matematikçiler tarafından rasyonel sayılar olarak adlandırılır) da şaşırtıcı özellikleri vardır:

ve eşitlikle:

sol taraftan başlayarak artıları ovalayabilir ve bunları çarpma işaretleriyle değiştirebilirsiniz - ve eşitlik doğru kalacaktır:

Ve böyle devam eder.

Bilindiği gibi a ve b tam sayı ve b ≠ 0 olmak üzere a/b kesirleri için şöyle derler: rasyonel sayı. Ama kendilerine yalnızca Lehçe böyle diyorlar. İngilizce, Fransızca, Almanca ve Rusça konuşuyorlar. rasyonel sayı. İngilizce: rasyonel sayılar. İrrasyonel sayılar Bu mantıksız, mantıksız. Ayrıca irrasyonel teoriler, fikirler ve eylemler hakkında da Lehçe konuşuyoruz - bu delilik, hayali, açıklanamaz. Kadınların farelerden korktuğunu söylüyorlar, bu ne kadar mantıksız?

Eski zamanlarda sayıların bir ruhu vardı. Her biri bir şey ifade ediyordu, her biri bir şeyi simgeliyordu, her biri Evrenin, yani Yunanca'da Kozmos'un uyumunun bir parçacığını yansıtıyordu. “Kozmos” kelimesinin kendisi “düzen, düzen” anlamına gelir. En önemlileri altı (mükemmel sayı) ve sembolizmi günümüze kadar gelen diğer sayılardan oluşan 1+2+3+4 ardışık sayıların toplamı olan on idi. Böylece Pisagor sayıların her şeyin başlangıcı ve kaynağı olduğunu ve yalnızca keşfin olduğunu öğretti. irrasyonel sayılar Pisagor hareketini geometriye doğru çevirdi. Okuldan bunun nedenini biliyoruz

√2 - irrasyonel sayı

Çünkü var olduğunu ve bu kesirin azaltılamayacağını varsayalım. Özellikle hem p hem de q tektir. Haydi karesini alalım: 2q²=p². p sayısı tek olamaz, o zamandan beri p² da olur ve eşitliğin sol tarafı 2'nin katıdır. Dolayısıyla, p çifttir, yani p = 2r, dolayısıyla p²= 4r². 2q denklemini azaltıyoruz²= 4r² 2'ye kadar. q'yu elde ederiz²= 2r² q'nun da çift olması gerektiğini görüyoruz ve öyle olmadığını varsaydık. Ortaya çıkan çelişki ispatı tamamlar – Bu formül genellikle her matematik kitabında bulunabilir. Bu dolaylı kanıt, sofistlerin favori tekniğidir.

Bu sonsuzluk Pisagorcular tarafından anlaşılamadı. Her şeyin sayılarla anlatılabilmesi gerekir ve herkesin kuma bir sopayla çizebileceği karenin köşegeninin ölçülebilir bir uzunluğu yoktur. Pisagorcular "İnancımız boşa çıktı" diyor gibi görünüyor. Nasıl yani? Bu biraz... mantıksız. Birlik mezhepçi yöntemlerle kendini kurtarmaya çalıştı. Varlığını açığa vurmaya cesaret eden herkes irrasyonel sayılar, ölümle cezalandırılacaktı ve görünüşe göre ilk cümle ustanın kendisi tarafından infaz edildi.

Ancak "düşünce zarar görmeden geçti." Altın çağ geldi. Yunanlılar Persleri yendi (Maraton 490, Plache 479). Demokrasi güçlendi, yeni felsefi düşünce merkezleri ve yeni okullar ortaya çıktı. Pisagorculuğun takipçileri hala irrasyonel sayılarla mücadele ediyorlardı. Bazıları vaaz verdi: Bu gizemi anlamayacağız; sadece üzerinde düşünebilir ve Uncharted'a hayran olabiliriz. İkincisi daha pragmatikti ve Sır'a saygı duymuyordu. O zamanlar irrasyonel sayıları anlamayı mümkün kılan iki zihinsel yapı ortaya çıktı. Bugün onları oldukça iyi anladığımız gerçeği Eudoxus'a (M.Ö. XNUMX. yüzyıl) aittir ve Alman matematikçi Richard Dedekind, Eudoxus'un teorisini katı matematiksel mantığın gereklerine uygun olarak ancak XNUMX. yüzyılın sonlarında gerekli geliştirmeyi sağlamıştır.

Çok sayıda sayı veya işkence

Sayılar olmadan yaşayabilir misiniz? Olsa bile nasıl bir hayat olurdu... Daha önce ayak uzunluğunu ölçtüğümüz bir sopayla ayakkabı almak için mağazaya gitmemiz gerekecekti. "Elma isterim, ah, işte burada!" – Pazardaki satıcıları gösterirdik. “Modlin ile Nowy Dwór Mazowiecki arasındaki mesafe ne kadar?” "Oldukça yakın!"

Rakamlar ölçmek için kullanılır. Bunları aynı zamanda başka birçok kavramı ifade etmek için de kullanırız. Örneğin haritanın ölçeği ülkenin yüzölçümünün ne kadar azaldığını gösteriyor. İkiye bir ölçeği veya basitçe 2, bir şeyin iki katına çıktığı gerçeğini ifade eder. Matematiksel olarak söyleyelim: Her homojenlik bir sayıya, onun ölçeğine karşılık gelir.

görev. Görüntüyü birkaç kez büyüterek xerografik bir kopya yaptık. Daha sonra büyütülmüş parça tekrar b kat büyütüldü. Genel büyütme ölçeği nedir? Cevap: a × b çarpı b. Bu ölçeklerin çoğaltılması gerekiyor. Eksi bir sayısı (-1), ortalanmış bir duyarlılığa, yani 180 derecelik bir dönüşe karşılık gelir. Hangi sayı 90 derecelik bir dönüşe karşılık gelir? Böyle bir sayı yok. Öyle, öyle... ya da daha doğrusu yakında olacak. Zihinsel işkenceye hazır mısın? Cesur olun ve eksi birin karekökünü alın. Dinliyorum? Neyi yapamazsın? Sonuçta sana cesur olmanı söylemiştim. Çekin! Hey, peki, çek, çek... Yardım edeceğim... İşte: −1 Artık elimizde olduğuna göre, kullanmayı deneyelim... Elbette, artık tüm negatif sayıların köklerini alabiliriz, çünkü örnek.:

√-4 = 2√-1, √-16 = 4√-1

- "Bunun gerektirdiği zihinsel ıstırap ne olursa olsun." Bu, Girolamo Cardano'nun 1539'da - kısa süre sonra bu isimle anılmaya başlandı - ilgili zihinsel zorlukların üstesinden gelmeye çalışırken yazdığı şeydi. sanal miktarlar. Şöyle düşündü...

...görev. 10'u iki parçaya bölün, çarpımı 40'a eşit. Önceki bölümde şöyle bir şey yazdığını hatırlıyorum: Açıkçası imkansız. Ancak şunu yapalım: 10'u her biri 5'e eşit iki eşit parçaya bölelim. Bunları çarparsak 25 elde ederiz. Elde edilen 25'ten şimdi isterseniz 40 çıkarın ve -15 elde ederiz. Şimdi bakın: √-15'in 5'e eklenmesi ve çıkarılması size 40 sonucunu verir. Bu sayılar 5-√-15 ve 5 + √-15'tir. Sonuç Cardano tarafından şu şekilde doğrulandı:

“Bunun getireceği zihinsel ızdırap ne olursa olsun, 5 + √-15'i 5-√-15 ile çarpın. 25 – (-15) elde ederiz, bu da 25 + 15'e eşittir. Yani çarpım 40…. Gerçekten zor."

Peki ne kadar: (1 + √-1) (1-√-1)? Çoğaltalım. √-1 × √-1 = -1 olduğunu unutmayın. Harika. Şimdi daha zor bir problem: a + b√-1'den ab√-1'e. Ne oldu? Tabi ki şöyle: (a + b√-1) (ab√-1) = a²+b²

Bunda bu kadar ilginç olan ne? Örneğin “daha ​​önce bilmediğimiz” ifadeleri çarpanlarına ayırabilmemiz. Kısaltılmış çarpma formülü²-b² muhtemelen formülü hatırlıyorsunuzdur²+b² gerçekleşemeyeceği için olmadı. Reel sayılar alanında polinom²+b² bu kaçınılmazdır. “Eksi bir”in “bizim” karekökünü i harfiyle gösterelim.²= -1. Bu "gerçek olmayan" bir asal sayıdır. Bu da 90 derece dönen bir düzlemi tarif eden şeydir. Neden? Nihayet,²= -1 ve 90 derecelik bir dönüşü başka bir benzer dönüşle birleştirmek 180 derecelik bir dönüş sağlar. Ne tür bir rotasyon anlatılıyor? Çok açık; 45 derecelik bir dönüş. -i sayısı ne anlama geliyor? Biraz daha karmaşık:

(-BEN)² = -i × (-i) = + i² = -1

Yani -i aynı zamanda i'nin dönüşünün tam tersi yönde 90 derecelik bir dönüşü de tanımlar. Hangisi solda, hangisi sağda? Randevu almanız gerekmektedir. i sayısının, matematikçilerin pozitif olarak kabul ettiği yönde, yani saat yönünün tersine dönmeyi belirttiğini varsayıyoruz. -i sayısı işaretçilerin hareket ettiği yöndeki dönüşü tanımlar.

Ama i ve -i gibi sayılar var mı? Öyle! Biz sadece onları hayata geçirdik. Dinliyorum? Bunların sadece kafamızda mı var olduğunu? Peki ne beklenmeli? Diğer tüm sayılar da sadece zihnimizde mevcuttur. Yeni doğan sayımızın hayatta kalıp kalamayacağını görmemiz gerekiyor. Daha doğrusu tasarım mantıklı mı ve bir işe yarayacak mı? Lütfen her şeyin yolunda olduğuna ve bu yeni sayıların gerçekten faydalı olduğuna dair sözlerime güvenin. 3+i, 5-7i gibi daha genel formdaki sayılara: a+bi karmaşık sayılar denir. Uçağı döndürerek bunları nasıl elde edebileceğinizi gösterdim. Farklı şekillerde girilebilirler: bir düzlemin noktaları olarak, belirli polinomlar olarak, belirli sayısal diziler olarak... ve her seferinde aynı olurlar: denklem x² +1=0 hiçbir unsur yok... hokus pokus zaten var!!!! Sevinelim ve sevinelim!!!

Turun sonu

Bu, sahte sayılar diyarındaki ilk turumuzu tamamlıyor. Diğer dünya dışı sayılardan, önünde ve arkasında sonsuz sayıda rakamı olanlardan da bahsedeceğim (bunlara 10-adik denir, bizim için p-adik daha önemlidir, p bir asal sayıdır), örneğin X = ... ... ... 96109004106619977392256259918212890625

X sayalım lütfen². Çünkü? Arkasında sonsuz sayıda rakam bulunan bir sayının karesini hesaplarsak ne olur? Peki, aynısını yapalım. X olduğunu bulalım² = H.

Denklemi karşılayan, önünde sonsuz sayıda rakam bulunan böyle bir sayı bulalım. İpucu: Sonu altıyla biten bir sayının karesi de altıyla biter. 76 ile biten bir sayının karesi de 76 ile biter. 376 ile biten bir sayının karesi de 376 ile biter. 9376 ile biten bir sayının karesi de 9376 ile biter. XNUMX ile biten bir sayının karesi... Ayrıca o kadar küçük sayılar da vardır ki, pozitif olmalarına rağmen diğer pozitif sayılardan daha küçük kalırlar. O kadar küçüktürler ki bazen sıfır elde etmek için karelerini almak yeterlidir. a × b = b × a koşulunu sağlamayan sayılar vardır. Ayrıca sonsuz sayılar da vardır. Kaç tane doğal sayı var? Sonsuz sayıda mı? Evet ama ne kadar? Bu hangi sayıyla ifade edilebilir? Cevap: Sonsuz sayıların en küçüğü; güzel bir harfle işaretlenmiştir: A ve sıfır indeksi A ile desteklenmiştir₀ , alef-sıfır.

Ayrıca var olduğunu bilmediğimiz ya da dilediğiniz gibi inanıp inanmayabileceğimiz sayılar da var. Bahsi geçmişken: Umarım hala Gerçek Dışı Sayılar'ı, Fantazi Tür Sayıları'nı seviyorsunuzdur.