Şifreler ve casuslar

Bugünkü Matematik Köşesinde Ulusal Çocuk Vakfı'nın yıllık Çocuk Bilim Kampında tartıştığım bir konuya bakacağım. Vakıf, bilime ilgi duyan çocuk ve gençleri arıyor. Son derece yetenekli olmanıza gerek yok, ancak bilimsel bir çizgiye sahip olmanız gerekiyor. Çok iyi okul notlarına gerek yoktur. Bir dene, belki hoşuna gider. İlkokul veya lise öğrencisiyseniz başvurunuz. Tipik olarak raporlar ebeveynler veya okul tarafından yapılır, ancak durum her zaman böyle değildir. Vakfın web sitesini bulun ve her şeyi öğrenin.

Okulda, eskiden "programlama" olarak bilinen etkinliğe atıfta bulunarak "kodlama" hakkında giderek daha fazla konuşma yapılıyor. Bu, eğitim teorisyenleri arasında yaygın bir prosedürdür. Eski yöntemleri kazıp çıkarıyorlar, onlara yeni bir isim veriyorlar ve “ilerleme” kendiliğinden gerçekleşiyor. Bu döngüsel olgunun meydana geldiği çeşitli alanlar vardır.

Didaktik'in değerini düşürdüğüm sonucuna varılabilir. HAYIR. Medeniyetin gelişiminde bazen eski, terkedilmiş ve şimdi yeniden canlandırılmakta olana geri döneriz. Ama bizim açımız felsefi değil matematikseldir.

Belirli bir topluluğa ait olmak aynı zamanda "ortak semboller", ortak okumalar, sözler ve benzetmeler anlamına da gelir. Lehçe dilini kusursuz bir şekilde öğrenmiş olan herkes, "Szczebrzeszyn'de büyük bir çalılık var, sazlıklarda bir böcek vızıldıyor", ağaçkakanın ne yaptığı sorusuna cevap vermezse, derhal yabancı bir gücün casusu olduğu ortaya çıkacak. Tabii ki boğuluyor!

Bu sadece bir şaka değil. Aralık 1944'te Almanlar, büyük bir masrafla Ardennes'e son saldırısını başlattı. Müttefik birliklerinin hareketini engellemek için, örneğin onları kavşaklarda yanlış yöne yönlendirerek, akıcı İngilizce konuşan askerleri seferber ettiler. Bir anlık şaşkınlığın ardından Amerikalılar askerlere şüpheli sorular sormaya başladı; bunların yanıtları Teksas, Nebraska veya Georgia'dan gelen biri için çok açık, ancak orada büyümemiş biri için düşünülemezdi. Gerçeklerin cehaleti doğrudan idama yol açtı.

Diyeceğim şey şu ki. Okuyuculara Lukasz Badovsky ve Zaslav Adamasek'in “Masa çekmecesindeki laboratuvar - matematik” kitabını öneriyorum. Bu, matematiğin aslında bir işe yaradığını ve "matematik deneyinin" sadece boş sözler olmadığını zekice gösteren harika bir kitap. Bu, diğer şeylerin yanı sıra, yaratılması yalnızca on beş dakikamızı alacak ve ciddi bir şifreleme makinesi gibi çalışan bir cihaz olan "karton bilmecenin" açıklanan tasarımını da içeriyor. Fikrin kendisi o kadar iyi biliniyordu ki, adı geçen yazarlar bunu çok güzel bir şekilde ortaya koymuşlar ve ben de onu biraz değiştirip daha matematiksel kıyafetlerle saracağım.

Şifreleme demir testereleri

Varşova'nın banliyölerindeki tatil köyümün sokaklarından birinde, yakın zamanda “trlinka”dan (altıgen döşeme levhalarından) yapılmış bir kaldırım söküldü. Seyahat etmek zahmetliydi ama matematikçinin ruhu seviniyordu. Bir düzlemi normal (yani normal) çokgenlerle kaplamak kolay değildir. Bunlar yalnızca üçgenler, kareler ve düzgün altıgenler olabilir.

Bu içten sevincim biraz şakaya gelmiş olabilir ama altıgen çok güzel bir şekildir. Oldukça başarılı bir şifreleme cihazı yapmak için kullanılabilir. Geometri yardımcı olacaktır. Altıgen dönme simetrisine sahiptir; 60 derece döndürüldüğünde kendisiyle üst üste gelir. Örneğin sol üst kısımda A harfiyle işaretlenmiş bir alan incir. 1 bu açıyla döndükten sonra A alanına da düşecektir - ve aynı durum diğer harfler için de geçerlidir. Şimdi ızgaradan her biri farklı harfe sahip altı kare keselim. Ortaya çıkan ızgarayı bir kağıda yerleştirin. Boş altı alana şifrelemek istediğimiz metnin altı harfini girin. Sayfayı 60 derece döndürelim. Altı yeni alan görünecektir - mesajımızın sonraki altı harfini girin.

Pirinç. 1. Matematiğin neşe bağlantıları.

Doğru incir. 1 şu şekilde kodlanmış metnimiz var: "İstasyonda devasa bir ağır buharlı lokomotif var."

Şimdi biraz okul matematiği işinize yarayacak. İki sayı birbirine göre kaç farklı şekilde sıralanabilir?

Ne aptal bir soru? İki kişilik: Ya biri önde, ya da diğeri.

Harika. Ve üç sayı?

Tüm ayarları listelemek de zor değil:

123, 132, 213, 231, 312, 321.

Peki, bu dört kişilik! Yine de açıkça ifade edilebilir. Girdiğim sıralama kuralını tahmin edin:

1234, 1243, 1423, 4123, 1324, 1342,

1432, 4132, 2134, 2143, 2413, 4213,

2314, 2341, 2431, 4231, 3124, 3142,

3412, 4312, 3214, 3241, 3421, 4321

Beş sayı olduğunda 120 olası ayar elde ederiz. Onları arayalım permütasyonlar. n sayıda sayının olası permütasyonlarının sayısı 1 · 2 · 3 · … · n'nin çarpımıdır. сильный ve ünlem işaretiyle işaretlenmiştir: 3!=6, 4!=24, 5!=120. Sonraki 6 sayısı için elimizde 6!=720 var. Bunu altıgen şifreleme kalkanımıza daha fazla karmaşıklık eklemek için kullanacağız.

0'dan 5'e kadar bir sayı permütasyonu seçiyoruz, örneğin 351042. Altıgen karıştırma diskimizin orta alanında, Şekil 1'deki gibi yukarıya doğru bir çizgi ile "sıfır konumuna" getirilebilmesi için bir çizgi vardır. 60. Diski bu şekilde üzerine raporumuzu yazacağımız bir kağıdın üzerine yerleştiriyoruz ancak hemen yazmıyoruz, üç kez 180 derece (yani 60 derece) döndürüp içine altı harf yazıyoruz. boş alanlar. Başlangıç ​​pozisyonuna dönüyoruz. Kadranı beş kez 60 derece, yani kadranımızın beş "dişi" kadar döndürüyoruz. Baskı yapıyoruz. Bir sonraki ölçek konumu, sıfır etrafında 0 derece döndürülmüş konumdur. Dördüncü konum XNUMX derecedir, bu başlangıç ​​konumudur.

Ne olduğunu anladın mı? "Makinemizi" yedi yüz kattan fazla karmaşık hale getirmek için ek bir fırsatımız var! Yani, "otomat"ın iki bağımsız konumu var: bir ızgara seçimi ve bir permütasyon seçimi. Izgara 66 = 46656 yolla seçilebilir, permütasyon 720. Bu 33592320 olasılık verir. 33 milyondan fazla şifre! Neredeyse biraz daha az çünkü Bazı ızgaralar kağıttan kesilemez.

alt kısımda incir. 1 şöyle kodlanmış bir mesajımız var: “Size dört paraşüt bölümü gönderiyorum.” Düşmanın bundan haberdar edilemeyeceğini anlamak kolaydır. Ama bunlardan herhangi birini anlayacak mı:

TPOROPVMANVEORDISZ

YYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYY

351042 imzasına rağmen mi?

Bir Alman şifreleme makinesi olan Enigma'yı inşa ediyoruz

Pirinç. 2. Şifreleme makinemizin ilk kurulumuna bir örnek.

Permütasyonlar (AF) (BJ) (CL) (DW) (EI) (GT) (HO) (KS) (MX) (NU) (PZ) (RY).

Daha önce de belirttiğim gibi böyle bir karton makine yapma fikrini “Masa Çekmecesindeki Laboratuvar - Matematik” kitabına borçluyum. Benim "yapımım" yazarlarının sunduğundan biraz farklı.

Almanların savaş sırasında kullandığı şifreleme makinesinin, altıgen şifrede gördüğümüze benzer, ustaca basit bir prensibi vardı. Her seferinde aynı: Bir mektubun zorlu görevini başka bir mektuba kırmak. Değiştirilebilir olmalıdır. Bunu kontrol altına almak için bunu nasıl yapmalı?

Herhangi bir permütasyonu değil, uzunluğu 2 olan döngüleri seçelim. Basitçe söylemek gerekirse, burada birkaç ay önce anlatılan “Gaderipoluka” gibi bir şey ama alfabenin tüm harflerini kapsıyor. ą, ę, ć, ó, ń, ś, ó, ż, ź, v, q olmadan 24 harf üzerinde anlaşalım. Böyle kaç tane permütasyon var? Bu lise mezunlarının görevidir (hemen çözebilmelidirler). Kaç tane? Birçok? Birkaç bin mi? Evet:

1912098225024001185793365052108800000000 (bu sayıyı okumayı bile denemeyelim). "Sıfır" konumunu ayarlamak için pek çok olasılık vardır. Ve zor olabilir.

Makinamız iki adet yuvarlak diskten oluşmaktadır. Bunlardan hala ayakta olan birinin üzerinde harfler yazılıdır. Bu biraz eski bir telefonun kadranına benziyor; kadranı sonuna kadar çevirerek bir numarayı çeviriyorsunuz. Rotary, renk şemasına sahip olan ikinci modeldir. En kolay yol, onları bir iğne kullanarak normal bir mantarın üzerine koymaktır. Mantar yerine ince tahta veya kalın karton kullanabilirsiniz. Lukasz Badowski ve Zaslav Adamaszek her iki diskin de CD kutusuna yerleştirilmesini öneriyor.

ARMATY ( kelimesini kodlamak istediğimizi düşünelim.Pirinç. 2 ve 3). Cihazı sıfır konumuna getirin (yukarı ok). A harfi F'ye karşılık gelir. İç diyagramı bir harf sağa döndürün. Kodlamamız gereken R harfi var, şimdi A'ya karşılık geliyor. Bir sonraki dönüşten sonra M harfinin U'ya karşılık geldiğini görüyoruz. Bir sonraki dönüş (dördüncü diyagram) A - P yazışmasını verir. Beşinci kadranda T - var A. Son olarak (altıncı daire) D – D Düşman muhtemelen CFC'lerimizin kendisi için tehlikeli olacağının farkına varmayacaktır. “Halkımız” bu tebliği nasıl okuyacak? Aynı makineye, aynı şekilde "programlanmış", yani aynı permütasyona sahip olmaları gerekir. Şifre sıfır konumunda başlar. Yani F'nin değeri A'ya eşittir. Kadranı saat yönünde çevirin. A harfi artık R ile ilişkilidir. Kadranı sağa çevirir ve U harfinin altında M'yi bulur, vb. Kriptograf generalin yanına koşar: "General, rapor ediyorum, silahlar geliyor!"

Pirinç. 3. Enigma makalemizin çalışma prensibi.

Pirinç. 3. Enigma makalemizin çalışma prensibi.

Bu kadar ilkel bir Enigma'nın bile yetenekleri inanılmaz. Diğer çıktı permütasyonlarını seçebiliriz. Bunu - ve burada daha da fazla olasılık var - düzenli olarak yalnızca bir "serif" değil, altıgen gibi günlük olarak değişen belirli bir sırayla (örneğin, ilk üç harf, sonra yedi, sonra sekiz, dört...) yapabiliriz. . vesaire. .).

Nasıl tahmin edebilirsin? Ve yine de Polonyalı matematikçiler için (Marian Reevski, Zigalski'li Henryk, Ezhi Ruzicki) olmuş. Bu şekilde elde edilen bilgiler çok değerliydi. Daha önce savunma tarihimize eşit derecede önemli bir katkıları vardı. Waclaw Sierpinski i Stanislav Mazurkeviç1920'de Rus birliklerinin yasasını ihlal eden. Kesilen kablo, Piłsudski'ye Wieprz Nehri'nden ünlü manevrayı yapma fırsatı verdi.

Waclaw Sierpinski'yi (1882-1969) hatırlıyorum. Kendisi için dış dünyanın var olmadığı bir matematikçiye benziyordu. Hem askeri hem de siyasi nedenlerden dolayı 1920'deki zafere katılımı hakkında konuşamadı (Polonya Halk Cumhuriyeti yetkilileri bizi Sovyetler Birliği'ne karşı savunanlardan hoşlanmadı).

İncir. 4. Permütasyon (AP) (BF) (CM) (DS) (EW) (GY) (HK) (IU) (JX) (LZ) (NR) (OT).

Pirinç. 5. Güzel dekorasyon, ancak şifreleme için uygun değil. Çok düzenli.

Görev 1. Na incir. 4 Enigma'yı yaratmak için başka bir permütasyonunuz var. Çizimi bir kserografa kopyalayın. Bir araba yapın, adınızı ve soyadınızı kodlayın. CWONUE JTRYGT'im. Notlarınızı gizli tutmanız gerekiyorsa karton Enigma kullanın.

Görev 2. Gördüğünüz “arabalardan” birinin adını ve soyadını şifreleyin, ancak (dikkat!) ek bir komplikasyonla: bir çentik sağa değil, {1, 2, 3, 2, 1 düzenine göre çeviriyoruz , 2, 3 , 2, 1, ....} – yani önce bir, sonra iki, sonra üç, sonra 2, sonra tekrar 1, sonra 2, vb., böyle bir “dalgacık” ”. Adımın ve soyadımın CZTTAK SDBITH olarak şifreleneceğinden emin olun. Şimdi Enigma makinesinin ne kadar güçlü olduğunu anladınız mı?

Lise mezunlarının sorununu çözüyoruz. Enigma'yı özelleştirmek için kaç seçenek var (bu sürümde, makalede anlatıldığı gibi)? 24 mektubumuz var. İlk harf çiftini seçin - bu yapılabilir

yollar. Aşağıdaki çift şuradan seçilebilir:

yöntemler, ayrıca

vesaire. Uygun hesaplamalardan sonra (tüm sayılar çarpılmalıdır) şunu elde ederiz:

151476660579404160000

O zaman bu sayıyı 12'ye bölün! (12 faktöriyel) çünkü aynı çiftler farklı sıralarda elde edilebilir. Yani sonunda “adil” oluyoruz

316234143225,

Bu 300 milyarın biraz üzerinde ve modern süper bilgisayarlar için şaşırtıcı derecede büyük bir rakam gibi görünmüyor. Ancak permütasyonların rastgele sırasını dikkate alırsak bu sayı önemli ölçüde artar. Başka permütasyon türlerini de düşünebiliriz.

Ayrıca bakınız: