Denklemler, kodlar, şifreler, matematik ve şiir

Michal Shurek kendisi hakkında şunları söylüyor: “1946'da doğdum. 1968 yılında Varşova Üniversitesi'nden mezun oldum ve o zamandan beri Matematik, Bilişim ve Mekanik Fakültesi'nde çalışıyorum. Bilimsel uzmanlık: cebirsel geometri. Geçenlerde vektör demetleriyle uğraştım. Vektör ışını nedir? Bu nedenle, vektörlerin bir iplikle sıkıca bağlanması gerekiyor ve zaten bir demetimiz var. Fizikçi arkadaşım Anthony Sim, beni Genç Teknisyene katılmaya zorladı (ücretlerimden telif ücreti alması gerektiğini kabul ediyor). Birkaç makale yazdım ve sonra kaldım ve 1978'den beri her ay matematik hakkında ne düşündüğümü okuyabilirsiniz. Dağları severim ve kilolu olmama rağmen yürümeye çalışırım. Bence en önemlisi öğretmenler. Politikacıları, seçenekleri ne olursa olsun, kaçamasınlar diye çok iyi korunan bir alanda tutardım. Günde bir kez besleyin. Tulek'ten bir beagle benden hoşlanıyor.

Bir matematikçi için denklem şifre gibidir. Matematiğin özü olan denklemleri çözmek, şifreli metinleri okumaktır. Bu, XNUMX. yüzyıldan beri ilahiyatçılar tarafından fark edildi. Matematiği bilen John Paul II, vaazlarında bunu birkaç kez yazdı ve dile getirdi - maalesef gerçekler hafızamdan silindi.

Okul biliminde, temsil edilir Pisagor bir dik üçgende bazı bağımlılıklar üzerine teoremin yazarı olarak. Böylece Avrupa merkezli felsefemizin bir parçası oldu. Yine de Pisagor'un çok daha fazla erdemi var. Öğrencilerine "dünyayı tanıma" görevini, "bu tepenin arkasında ne var?" diye empoze eden oydu. yıldızları incelemeden önce. Avrupalıların eski uygarlıkları "keşfetmiş" olmasının nedeni budur, tersi değil.

Bazı okuyucular hatırlar.Viète desenleriVe"; birçok eski okuyucu, terimin kendisini okuldan ve sorunun ikinci dereceden denklemlerde göründüğü gerçeğini hatırlıyor. Bu düzenlilikler “ideolojik olarak” şifreleme bilgi.

merak etme François Viet (1540-1603), Henry IV'ün (Bourbon hanedanlığından ilk Fransız kralı, 1553-1610) mahkemesinde kriptografi ile uğraştı ve İngilizlerin Fransa ile savaşta kullandığı şifreyi kırmayı başardı. Dünya Savaşı'ndan önce Alman Enigma şifreleme makinesinin sırlarını keşfeden Polonyalı matematikçilerle (Marian Rejewski liderliğindeki) aynı rolü oynadı.

moda teması

Aynen öyle. "Kodlar ve şifreler" konusu, öğretimde uzun zamandır moda oldu. Bunu zaten birkaç kez yazdım ve iki ay içinde başka bir dizi olacak. Bu sefer, zaferin büyük ölçüde Bolşevik birliklerinin kodunun o zamanlar genç olan bir ekip tarafından kırılmasından kaynaklandığı 1920 savaşı hakkında bir film izlenimi altında yazıyorum. Vaclav Sierpinski (1882-1969). Hayır, henüz Enigma değil, sadece bir giriş. Filmden Józef Piłsudski'nin (Daniil Olbrychski tarafından canlandırılıyor) şifre bölümü başkanına söylediği bir sahneyi hatırlıyorum:

Şifresi çözülen mesajlar önemli bir mesaj taşıyordu: Tukhachevsky'nin birlikleri destek almayacaktı. Saldırabilirsin!

Vaclav Sierpinski'yi tanıyordum (eğer söylemem gerekirse: Ben genç bir öğrenciydim, o ünlü bir profesördü), onun derslerine ve seminerlerine katıldım. Kurumuş, dalgın, disiplini ile meşgul ve diğer dünyayı göremeyen bir alim izlenimi verdi. Seyirciye bakmadan, yüzü karatahtaya dönük olarak özellikle ders anlatıyordu... ama kendini seçkin bir uzman gibi hissediyordu. Öyle ya da böyle, belirli matematiksel yeteneklere sahipti - örneğin, problem çözmek için. Başkaları da var - bulmaca çözmede nispeten kötü olan, ancak tüm teoriyi derinlemesine anlayan ve tüm yaratıcılık alanlarını başlatma yeteneğine sahip bilim adamları. Her ikisine de ihtiyacımız var - ilki daha hızlı hareket edecek olsa da.

Vaclav Sierpinski 1920'deki başarılarından hiç bahsetmedi. 1939'a kadar bunun kesinlikle gizli tutulması gerekiyordu ve 1945'ten sonra Sovyet Rusya ile savaşanlar o zamanki yetkililerin sempatisinden hoşlanmadılar. Bilim adamlarına bir ordu gibi ihtiyaç duyulduğuna dair inancım kanıtlandı: "her ihtimale karşı." Başkan Roosevelt Einstein'ı çağırıyor:

Seçkin Rus matematikçi Igor Arnold açıkça ve üzgün bir şekilde savaşın matematik ve fiziğin gelişimi üzerinde büyük bir etkisi olduğunu söyledi (radar ve GPS'in de askeri bir kökeni vardı). Atom bombası kullanımının ahlaki yönüne girmiyorum: işte savaşın bir yıl uzatılması ve birkaç milyon kendi askerinin ölümü - masum sivillerin acısı var.

***

Tanıdık alanlara kaçıyorum - k.Birçoğumuz kodlarla oynadık, belki scouting, belki sadece böyle. Harfleri başka harflerle veya başka sayılarla değiştirme ilkesine dayanan basit şifreler, yalnızca birkaç ipucu yakalarsak (örneğin, kralın adını tahmin edersek) rutin olarak bozulur. İstatistiksel analiz de bugün yardımcı olur. Daha da kötüsü, her şey değişebilir olduğunda. Ancak en kötüsü, düzenliliğin olmadığı zamandır. İyi Asker Schweik'in Maceraları'nda açıklanan kodu düşünün. Bir kitap alın, örneğin Tufan. İşte birinci ve ikinci sayfalardaki öneriler.

"CAT" kelimesini kodlamak istiyoruz. 1. sayfayı ve sonraki saniyeyi açıyoruz. 1. sayfada, K harfinin ilk olarak 59. sırada göründüğünü görüyoruz. Karşı tarafta, diğer tarafta elli dokuzuncu kelimeyi buluyoruz. Bu bir "a" kelimesidir. Şimdi O harfi. Soldaki 16. kelime ve sağdaki on altıncı kelime "Bay". Doğru saydıysam T harfi 95. sırada ve sağdan doksan beşinci kelime ise "o". Yani, CAT = 1 LORD O.

"Tahmin edilemez" bir şifre, hem şifreleme hem de ... tahmin için acı verici bir şekilde yavaş olsa da. M harfini geçmek istediğimizi varsayalım. Bunu "Wołodyjowski" kelimesiyle kodlayıp kodlamadığımızı kontrol edebiliriz. Ve bizden sonra zaten bir hapishane hücresi hazırlıyorlar. Sadece bir ikameye güvenebiliriz! Buna ek olarak, karşı istihbarat, müşterilerin bir süredir The Flood'un ilk cildini isteyerek satın aldıklarına dair gizli çalışanların raporlarını not ediyor.

Makalem bu teze bir katkıdır: matematikçilerin en tuhaf fikirleri bile geniş ölçüde anlaşılan bir uygulamada uygulama bulabilir. Örneğin, 47'ye bölünebilirlik testinden daha az kullanışlı bir matematiksel keşif hayal etmek mümkün müdür?

Hayatta buna ne zaman ihtiyacımız var? Ve eğer öyleyse, onu ayırmaya çalışmak daha kolay olacaktır. Bölünürse iyidir, değilse, o zaman ... ikincil olarak iyidir (bölmediğini biliyoruz).

Nasıl ve neden paylaşılır

Bu girişten sonra geçelim, siz okuyucular bölünebilirliğin herhangi bir belirtisini biliyor musunuz? Kesinlikle. Çift sayılar 2, 4, 6, 8 veya sıfır ile biter. Bir sayı, rakamlarının toplamı üçe bölünebiliyorsa üçe bölünebilir. Benzer şekilde, dokuza bölünme işareti ile - basamakların toplamı dokuza bölünebilir olmalıdır.

Kimin ihtiyacı var? Okuyucuyu onun okul ödevleri dışında herhangi bir şey için iyi olduğuna ikna edersem yalan söylemiş olurum. Peki, ve 4'e bölünebilmenin bir başka özelliği (ve nedir, Reader? Belki bir sonraki Olimpiyatın hangi yıla denk geldiğini bilmek istediğinizde kullanırsınız...). Ama 47 ile bölünebilme özelliği? Bu zaten bir baş ağrısıdır. 47 ile bölünebilen bir şey olup olmadığını hiç öğrenebilecek miyiz? Evet ise, bir hesap makinesi alın ve görün.

Bu. Haklısın Okuyucu. Ve yine de okumaya devam edin. Rica ederim.

47 ile bölünebilme işareti: 100+ sayısı 47'ye bölünebilir, ancak ve ancak 47 +8'e bölünebiliyorsa.

Matematikçi memnuniyetle gülümseyecek: "Vay canına, güzelim." Ama matematik matematiktir. Kanıt önemlidir ve güzelliğine dikkat ederiz. Özelliğimizi nasıl kanıtlayacağız? Çok basit. 100'den + 94 - 47 = 47 (2 -) sayısını çıkarın. 100+-94+47=6+48=6(+8) elde ederiz.

47 ile bölünebilen bir sayıyı çıkardık, yani 6 (+ 8) 47'ye bölünebiliyorsa, 100 + da öyledir. Ama 6 sayısı 47'ye asaldır, yani 6 (+ 8) 47'ye sadece + 8 ise bölünebilir. İspatın sonu.

Görelim Bazı örnekler.

8805685 47 ile tam bölünür Eğer gerçekten ilgileniyorsak, ilkokulda öğretildiği gibi bizi bölerek daha çabuk öğreneceğiz. Öyle ya da böyle, artık her cep telefonunda bir hesap makinesi var. Bölünmüş? Evet, özel 187355.

Bakalım bölünebilme işareti bize ne söylüyor. Son iki basamağın bağlantısını keseriz, 8 ile çarparız, sonucu “kesik sayıya” ekleriz ve aynısını elde edilen sayı ile yaparız.

8805685 → 88056 + 8 85 = 88736 → 887 + 8 36 = 1175 → 11 + 8 75 = 611 → 6 + 8 11 = 94.

94'ün 47'ye bölünebildiğini (bölüm 2'dir) görüyoruz, bu da orijinal sayının da bölünebilir olduğu anlamına geliyor. İyi. Ama ya eğlenmeye devam edersek?

94 → 0 + 8 94 = 752 → 7 + 8 52 = 423 → 4 + 8 23 = 188 → 1 + 8 88 = 705 → 7 + 8 5 = 47.

Şimdi durmalıyız. 47, XNUMX'ye tam bölünür değil mi?

Gerçekten durmamız gerekiyor mu? Daha ileri gidersek ne olur? Aman Tanrım, her şey olabilir... Ayrıntıları atlayacağım. Belki sadece başlangıç:

47 → 0 + 8 47 = 376 → 3 + 8 76 = 611 → 6 + 8 11 = 94 → 0 + 8 94 = 752.

Ama ne yazık ki tohum çiğnemek kadar bağımlılık yapıyor...

752 → 7 + 8 * 52 = 423 → 4 + 8 * 23 = 188 → 1 + 8 * 88 = 705 → 7 + 8 * 5 = 47.

Ah, kırk yedi. Daha önce oldu. Sıradaki ne? . Aynı. Sayılar şöyle bir döngüye girer:

Bu gerçekten ilginç. Çok fazla döngü.

Iki aşağıdaki örnekler.

10017627'nin 47'ye bölünüp bölünemeyeceğini bilmek istiyoruz. Bu bilgiye neden ihtiyacımız var? İlkeyi hatırlıyoruz: Bilene yardım etmeyen bilginin vay haline. Bilgi her zaman bir şey için oradadır. Bir şey için olacak, ama şimdi açıklamayacağım. Birkaç hesap daha:

10017627 → 100176 + 8 27 = 100392.

"Amcasını baltadan sopaya çevirdi." Bütün bunlardan ne anlıyoruz?

Pekala, yargılama sürecini tekrar edelim. Yani, bunu yapmaya devam edeceğiz (yani, "yineleme" kelimesi).

100392 → 1003 + 8 92 = 1739 → 17 + 8 39 = 329 → 3 + 8 29 = 235.

Oyunu durduralım, okuldaki gibi (veya hesap makinesinde) bölelim: 235 = 5 47. Bingo. 10017627 sayısı 47 ile tam bölünür.

Aferin!

Daha ileri gidersek ne olur? İnan bana, kontrol edebilirsin.

Ve bir ilginç gerçek daha. 799'un 47'ye bölünüp bölünemeyeceğini kontrol etmek istiyoruz. Bölünebilme fonksiyonunu kullanıyoruz. Son iki basamağın bağlantısını kesiyoruz, elde edilen sayıyı 8 ile çarpıyoruz ve kalana ekliyoruz:

799 → 7 + 8 = 99 + 7 = 792.

Neyimiz var? 799 47 ile bölünebilir mi ve ancak ve ancak 799 47 ile bölünebilir mi? Evet doğru ama bunun için matematiğe gerek yok!!! Yağ yağlıdır (en azından bu yağ yağlıdır).

Yaprak, korsanlar ve şakaların sonu hakkında!

İki hikaye daha. Bir yaprağı saklamak için en iyi yer neresidir? Cevap açık: ormanda! Ama o zaman onu nasıl bulabilirsin?

Uzun zaman önce okuduğumuz korsanlarla ilgili kitaplardan bildiğimiz ikincisi. Korsanlar hazineyi gömdükleri yerin bir haritasını çıkardılar. Diğerleri ya çaldı ya da savaşı kazandı. Ancak harita, hangi adaya yönelik olduğunu göstermedi. Ve kendini ara! Elbette korsanlar bununla (işkence) baş ettiler - bahsettiğim şifreler de bu tür yöntemler kullanılarak çıkarılabilir.

Şakaların sonu. Okuyucu! Bir şifre oluşturuyoruz. Ben gizli bir casusum ve iletişim kutum olarak "Genç Teknisyen"i kullanıyorum. Bana şifreli mesajları şu şekilde ilet.

İlk önce, kodu kullanarak metni bir sayı dizisine dönüştürün: AB CDEFGH IJ KLMN OP RST UWX Y Z1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Gördüğünüz gibi, Lehçe aksan (yani ą, ę, ć, ń, ó, ś olmadan) ve Lehçe olmayan q, v - kullanmıyoruz, ancak Lehçe olmayan x her ihtimale karşı orada. Boşluk olarak 25 tane daha ekleyelim (kelimeler arasındaki boşluk). Ah, en önemli şey. Lütfen 47 numaralı kodu uygulayınız.

Bunun ne anlama geldiğini biliyorsun. Bir arkadaşın matematikçisine gidiyorsun.

Arkadaşın gözleri şaşkınlıkla büyüdü.

Gururla cevap veriyorsun:

Bir matematikçi size bu özelliği veriyor... ve şifreleme için göze çarpmayan görünen bir işlevin kullanıldığını zaten biliyorsunuz.

çünkü böyle bir model tanımlanmış bir eylemdir

100+→+8.

Yani, şifreli bir mesajdaki 77777777 gibi bir sayının ne anlama geldiğini bilmek istediğinizde, işlevi kullanırsınız.

100+→+8

1 ile 25 arasında bir sayı elde edene kadar. Şimdi açık alfanümerik koda bakın. Bakalım: 77777777 →… Bunu size bir görev olarak bırakıyorum. Ama bakalım 48 harfi ne saklıyor? Okuyalım:

48 → 0 + 8 48 = 384.

Sonra sırayla alırız:

384 → 3 + 8 84 = 675 → 6 + 8 75 = 606 → 6 + 8 6 = 54 → 0 + 8 54 = 432…

Sonu görünmüyor. Ancak altmışıncı (!) zamandan sonra 25'ten küçük bir sayı görünecektir.Bu 3'tür, yani 48, C harfidir.

Peki bu mesaj bize ne veriyor? (47 numaralı kodu kullandığımızı hatırlatmak isterim):

80 – 152 – 136 – 546 – ​​​​695719 – 100 – 224 – 555 – 412 – 111 – 640 – 102 – 152 – 12881 – 444 – 77777777 – 59 – 408 – 373 – 1234567 – 341.

Bir düşünün, bu kadar karmaşık olan şey, bazı hesaplar. başladık. 80 başı. Bilinen kural:

80 → 0 + 8 80 = 640 → 6 + 8 40 = 326.

Şöyle devam ediyor:

326 → 211 → 90 → 720 → 167 → 537 → 301 → 11.

Yemek yemek! Mesajın ilk harfi K. Phew, kolay ama ne kadar sürecek?

Bir de 1234567 sayısıyla ne kadar sıkıntımız olduğunu görelim. Sadece on altıncı seferde 25'ten küçük bir sayı elde edeceğiz, yani 12. Yani 1234567 L'dir.

Tamam, denebilir, ancak bu aritmetik işlem o kadar basittir ki, onu bir bilgisayarda programlamak kodu hemen kırar. Evet bu doğru. Bunlar basit bilgisayar hesaplamaları. ile fikir genel şifre ve aynı zamanda bilgisayar için hesaplamaları zorlaştırmakla da ilgilidir. En az yüz yıl çalışsın. Mesajın şifresini çözecek mi? Önemli değil. Uzun bir süre önemli olmayacak. Bu (az ya da çok) genel şifrelerin neyle ilgili olduğudur. Çok uzun süre çalışırsanız kırılabilirler ... haberler artık alakalı olmayana kadar.

 her zaman "karşı silahlar" doğurmuştur. Her şey bir kılıç ve kalkanla başladı. Gizli Servisler, bilgisayarların (bizim tarafımızdan oluşturulanlar dahil) XNUMX. yüzyılda kıramayacağı şifreleme yöntemleri icat etmeleri için yetenekli matematikçilere büyük meblağlarda para ödüyor.

yirmi ikinci yüzyıl? Dünyada zaten bu güzel yüzyılda yaşayacak çok sayıda insan olduğunu bilmek o kadar da zor değil!

Ah ha? (Ben, "Genç Teknisyenin temas kurduğu Gizli Görevli") 23 numaralı kodla şifrelememi istersem ne olur? Yoksa 17 mi? Basit:

Matematiği asla bu amaçlar için kullanmak zorunda kalmayalım.

***

Makalenin başlığı şiir hakkındadır. Onunla ne ilgisi var?

Ne gibi? Şiir de dünyayı şifreler.

Nasıl?

Yöntemlerine göre - cebirsel olanlara benzer.