Geometrik yollar ve çalılıklar

Bu makaleyi yazarken, Jan Pietrzak'ın Polonya Halk Cumhuriyeti'nde bir emniyet supabı olarak tanınan Pod Egidą kabaresindeki hiciv faaliyetinden önce söylediği çok eski bir şarkıyı hatırladım; sistemin paradokslarına dürüstçe gülebiliriz. Yazar bu şarkısında sosyalist siyasete katılımı tavsiye ederek, apolitik olmak isteyenlerle alay ederek gazetedeki radyoyu kapatmıştır. O zamanlar XNUMX yaşındaki Petshak ironik bir şekilde “Okula geri dönmek daha iyi” dedi.

Okula okumaya dönüyorum. Shchepan Yelensky'nin (1881-1949) "Lylavati" kitabını (ilk kez değil) yeniden okuyorum. Birkaç okuyucu için kelimenin kendisi bir şeyler söylüyor. Bu, ünlü Hindu matematikçi Bhaskara (1114-1185) olarak bilinen Akaria'nın veya cebir kitabına bu adı veren bilgenin kızının adıdır. Lilavati daha sonra ünlü bir matematikçi ve filozof oldu. Diğer kaynaklara göre kitabı kendisi yazan oydu.

Szczepan Yelensky matematik kitabına da aynı adı verdi (ilk baskı, 1926). Bu kitaba matematiksel bir çalışma demek bile zor olabilir - daha çok bir dizi bulmacaydı ve büyük ölçüde Fransız kaynaklarından yeniden yazılmıştı (modern anlamda telif hakları yoktu). Her halükarda, uzun yıllar Polonya'da matematik üzerine tek popüler kitaptı - daha sonra Jelensky'nin ikinci kitabı olan Pythagoras's Sweets ona eklendi. Yani matematiğe ilgi duyan gençlerin (ki ben de bir zamanlar öyleydim) aralarından seçim yapabileceği hiçbir şey yoktu...

öte yandan "Lilavati"nin neredeyse ezbere bilinmesi gerekiyordu... Ah, öyle zamanlar oldu ki... En büyük avantajları benim... o zamanlar bir genç olmamdı. Bugün, iyi eğitimli bir matematikçinin bakış açısından, Lilavati'ye tamamen farklı bir şekilde bakıyorum - belki de Shpiglasova Pshelench'e giden yolun virajlarında bir dağcı gibi. Ne biri ne de diğeri çekiciliğini kaybetmiyor ... Kişisel yaşamında sözde ulusal fikirleri savunan Shchepan Yelensky, karakteristik üslubuyla önsözde şöyle yazıyor:

Ulusal özelliklerin tarifine değinmeden, doksan yıl sonra bile Yelensky'nin matematikle ilgili sözlerinin alaka düzeyini kaybetmediğini söyleyeceğim. Matematik düşünmeyi öğretir. Bu bir gerçektir. Size farklı, daha basit ve daha güzel düşünmeyi öğretebilir miyiz? Belki. Sadece... hala yapamıyoruz. Matematik yapmak istemeyen öğrencilerime bunun da bir zeka testi olduğunu açıklıyorum. Gerçekten basit matematik teorisini öğrenemiyorsan, o zaman... belki zihinsel yeteneklerin ikimizin de isteyeceğinden daha kötüdür...?

Kumdaki işaretler

Ve işte "Lylavati" deki ilk hikaye - Fransız filozof Joseph de Maistre (1753-1821) tarafından açıklanan bir hikaye.

Enkaz halindeki bir gemiden bir denizci, ıssız olduğunu düşündüğü boş bir kıyıya dalgalar tarafından atıldı. Aniden, kıyı kumunda birinin önüne çizilmiş geometrik bir figürün izini gördü. O zaman adanın ıssız olmadığını anladı!

Yelensky, de Mestri'den alıntı yaparak şunları yazıyor: geometrik şekiltalihsiz, batık, tesadüf için dilsiz bir anlatım olurdu ama bir bakışta orantı ve sayıyı gösterdi ve bu da aydın bir adamın habercisiydi. Tarih için çok fazla.

Bir denizcinin, örneğin K, ... harfini ve bir kişinin varlığının diğer izlerini çizerek aynı tepkiye neden olacağını unutmayın. Burada geometri idealize edilmiştir.

Ancak astronom Camille Flammarion (1847-1925), uygarlıkların geometriyi kullanarak uzaktan selamlaşmasını önerdi. Bunda tek doğru ve olası iletişim girişimini gördü. Böyle Marslılara Pisagor üçgenlerini gösterelim... onlar bize Thales ile cevap verecekler, biz onlara Vieta desenleri ile cevap vereceğiz, çemberleri bir üçgene sığacak, böylece bir dostluk başladı...

Jules Verne ve Stanislav Lem gibi yazarlar bu fikre geri döndüler. Ve 1972'de, hala uzayın genişliğini geçen Pioneer sondasına geometrik (ve sadece değil) desenli fayanslar yerleştirildi, şimdi bizden neredeyse 140 astronomik birim (1 I, Dünya'nın Dünya'dan ortalama mesafesidir) . Güneş, yani yaklaşık 149 milyon km). Karo, kısmen, dünya dışı uygarlıkların sayısıyla ilgili tartışmalı kuralın yaratıcısı olan astronom Frank Drake tarafından tasarlandı.

Geometri harika. Hepimiz bu bilimin kökeni hakkındaki genel bakış açısını biliyoruz. Biz (biz insanlar) araziyi (ve daha sonra araziyi) en faydacı amaçlarla ölçmeye yeni başladık. Mesafeleri belirlemek, düz çizgiler çizmek, dik açıları işaretlemek ve hacimleri hesaplamak giderek bir zorunluluk haline geldi. Bu yüzden her şey geometri (“Dünyanın ölçümü”), dolayısıyla tüm matematik ...

Ancak, bir süredir bilim tarihinin bu net resmi bizi bulandırdı. Çünkü matematiğe yalnızca işlemsel amaçlar için ihtiyaç duyulsaydı, basit teoremleri kanıtlamakla meşgul olmazdık. Birkaç dik üçgende hipotenüslerin karelerinin toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu kontrol ettikten sonra, “Bunun kesinlikle doğru olması gerektiğini görüyorsunuz” denilebilir. Neden böyle bir formalizm?

Erik turtası lezzetli olmalı, bilgisayar programı çalışmalı, makine çalışmalı. Namlunun kapasitesini otuz kez saydıysam ve her şey yolundaysa, o zaman neden başka?

Bu arada, eski Yunanlıların aklına bazı resmi kanıtların bulunması gerektiği geldi.

Böylece matematik Thales ile başlar (MÖ 625-547). Bunun nedenini merak etmeye başlayanın Miletos olduğu varsayılır. Akıllı insanların bir şeyi görmüş olmaları, bir şeye ikna olmuş olmaları yeterli değildir. Varsayımdan teze mantıklı bir argüman dizisi olan kanıt ihtiyacını gördüler.

Onlar da daha fazlasını istediler. Fiziksel fenomenleri ilahi müdahale olmaksızın natüralist bir şekilde açıklamaya çalışan ilk kişi muhtemelen Thales'ti. Avrupa felsefesi doğa felsefesiyle başladı - zaten fiziğin arkasında olanla (dolayısıyla adı: metafizik). Ancak Avrupa ontolojisinin ve doğa felsefesinin temelleri Pisagorcular tarafından atıldı (Pisagor, c. 580-c. MÖ 500).

Apennine Yarımadası'nın güneyindeki Crotone'da kendi okulunu kurdu - bugün buna bir mezhep diyoruz. Bilim (kelimenin şu anki anlamıyla), mistisizm, din ve fantazinin hepsi yakından iç içe geçmiş durumda. Thomas Mann, Doktor Faustus romanında bir Alman spor salonunda matematik derslerini çok güzel bir şekilde sundu. Maria Kuretskaya ve Witold Virpsha tarafından tercüme edilen bu parça şöyledir:

Charles van Doren'in ilginç kitabı, Tarihin Şafağından Günümüze Bilginin Tarihi'nde çok ilginç bir bakış açısı buldum. Yazar, bölümlerden birinde Pisagor okulunun önemini anlatıyor. Bölümün başlığı beni çok etkiledi. "Matematiğin İcadı: Pisagorcular" yazıyor.

Matematik teorilerinin keşfedildiğini (örneğin bilinmeyen ülkeler) veya icat edilip edilmediğini (örneğin daha önce var olmayan makineler) sıklıkla tartışırız. Bazı yaratıcı matematikçiler kendilerini araştırmacı, diğerleri ise mucit veya tasarımcı olarak görür, daha az sıklıkla karşı çıkar.

Ancak bu kitabın yazarı genel olarak matematiğin icadı hakkında yazıyor.

Abartıdan yanılgıya

Bu uzun giriş bölümünden sonra en başa geçeceğim. geometrigeometriye aşırı güvenmenin bir bilim insanını nasıl yanlış yönlendirebileceğini açıklamak için. Johannes Kepler, fizik ve astronomide gök cisimlerinin üç hareket yasasını keşfeden kişi olarak bilinir. İlk olarak, güneş sistemindeki her gezegen, odaklarından birinde güneş olan eliptik bir yörüngede güneşin etrafında hareket eder. İkinci olarak, gezegenin Güneş'ten çekilen öncü ışını düzenli aralıklarla eşit alanlar çizer. Üçüncüsü, bir gezegenin Güneş etrafındaki dönüş periyodunun karesinin, yörüngesinin yarı ana ekseninin küpüne (yani, Güneş'ten ortalama uzaklığa) oranı, güneş sistemindeki tüm gezegenler için sabittir.

Belki de bu üçüncü yasaydı - onu kurmak için çok fazla veri ve hesaplama gerektirdi, bu da Kepler'i gezegenlerin hareket ve konumunda kalıpları aramaya devam etmeye sevk etti. Yeni "keşfinin" tarihi çok öğreticidir. Antik çağlardan beri, sadece düzenli çokyüzlülere değil, aynı zamanda uzayda sadece beş tane olduğunu gösteren argümanlara da hayran kaldık. Üç boyutlu bir çokyüzlü, eğer yüzleri aynı düzgün çokgenlerse ve her köşesi aynı sayıda kenara sahipse düzgün olarak adlandırılır. Örnek olarak, normal bir çokyüzlülüğün her köşesi "aynı görünmelidir". En ünlü polihedron küptür. Herkes sıradan bir ayak bileği gördü.

Düzenli tetrahedron daha az bilinir ve okulda buna düzenli üçgen piramit denir. Bir piramit gibi görünüyor. Kalan üç düzenli çokyüzlü daha az bilinmektedir. Bir küpün kenarlarının merkezlerini birleştirdiğimizde bir oktahedron oluşur. Dodecahedron ve icosahedron zaten toplara benziyor. Yumuşak deriden yapılmış, kazmak için rahat olurdu. Beş Platonik katıdan başka düzenli çokyüzlülerin olmadığı mantığı çok iyidir. İlk olarak, eğer cisim düzgünse, o zaman aynı sayıda (q olsun) özdeş düzgün çokgenlerin her bir köşede yakınsaması gerektiğini, bunların p açıları olduğunu fark ederiz. Şimdi düzgün çokgende açının ne olduğunu hatırlamamız gerekiyor. Birisi okuldan hatırlamıyorsa, size doğru kalıbı nasıl bulacağınızı hatırlatıyoruz. Köşede bir gezintiye çıktık. Her tepe noktasında aynı açıyı a dönüyoruz. Poligonun etrafından dolaşıp başlangıç ​​noktasına döndüğümüzde p gibi dönüşler yaptık ve toplamda 360 derece döndük.

Ancak α, hesaplamak istediğimiz açının 180 derecelik tümleyenidir ve bu nedenle

Düzenli bir çokgenin açısının formülünü bulduk (bir matematikçi şöyle der: bir açının ölçüleri). Kontrol edelim: p = 3 üçgeninde a yok

Bunun gibi. p = 4 (kare) olduğunda, o zaman

derece de iyidir.

Bir pentagon için ne alıyoruz? Peki, her p açısı aynı olan q çokgenler olduğunda ne olur?

 bir tepe noktasında azalan dereceler? Bir düzlemde olsaydı, o zaman bir açı oluşurdu

derece ve 360 ​​dereceden fazla olamaz - çünkü o zaman çokgenler üst üste biner.

Ancak bu çokgenler uzayda buluştuğu için açı tam açıdan küçük olmalıdır.

Ve işte her şeyin çıktığı eşitsizlik:

180'e bölün, her iki parçayı da p ile çarpın, sıra (p-2) (q-2) < 4. Bundan sonrası ne olur? p ve q'nun doğal sayılar olması gerektiğinin ve p > 2'nin (neden? Ve p nedir?) ve ayrıca q > 2 olduğunun farkında olalım. İki doğal sayının çarpımını 4'ten küçük yapmanın pek çok yolu yoktur. hepsini listeleyeceğim. Tablo 1'de.

Çizimler göndermiyorum, bu figürleri internette herkes görebilir... İnternette... Lirik bir konuyu reddetmeyeceğim - belki de genç okuyucular için ilginçtir. 1970 yılında bir seminerde konuştum. Konu zordu. Hazırlanmak için çok az zamanım vardı, akşamları oturdum. Ana makale yerinde salt okunurdu. Mekan rahattı, çalışma atmosferi vardı, yedide kapandı. Sonra gelin (şimdi karım) kendisi tüm makaleyi benim için yeniden yazmayı teklif etti: yaklaşık bir düzine basılı sayfa. Kopyaladım (hayır, tüy kalemle değil, kalemlerimiz bile vardı), ders başarılı geçti. Bugün zaten eski olan bu yayını bulmaya çalıştım. Yazarın sadece adını hatırlıyorum... İnternetteki aramalar uzun sürdü... tam on beş dakika. Bunu bir sırıtma ve biraz da haksız pişmanlıkla düşünüyorum.

geri dönüyoruz Keplera ve geometri. Görünüşe göre Platon beşinci düzenli formun varlığını öngördü, çünkü bütün dünyayı kaplayan birleştirici bir şeyden yoksundu. Belki de bu yüzden bir öğrenciye (Theajtet) onu aramasını söyledi. Olduğu gibi, dodecahedron'un keşfedildiği temelinde öyleydi. Platon'un bu tutumuna panteizm diyoruz. Newton'a kadar tüm bilim adamları, az ya da çok ona yenik düştüler. Son derece rasyonel on sekizinci yüzyıldan beri, etkisi büyük ölçüde azaldı, ancak hepimizin bir şekilde ona yenildiğimiz gerçeğinden utanmamalıyız.

Kepler'in güneş sistemini inşa etme konseptinde her şey doğruydu, deneysel veriler teoriyle örtüşüyordu, teori mantıksal olarak tutarlıydı, çok güzeldi... ama tamamen yanlıştı. Onun zamanında sadece altı gezegen biliniyordu: Merkür, Venüs, Dünya, Mars, Jüpiter ve Satürn. Neden sadece altı gezegen var? diye sordu Kepler. Ve hangi düzenlilik Güneş'ten uzaklıklarını belirler? Her şeyin bağlantılı olduğunu varsayıyordu, bu geometri ve kozmogoni birbirleriyle yakından ilişkilidir. Eski Yunanlıların yazılarından sadece beş düzenli çokyüzlü olduğunu biliyordu. Altı yörünge arasında beş boşluk olduğunu gördü. Yani belki bu boş alanların her biri bazı düzenli çokyüzlülere karşılık gelir?

Birkaç yıllık gözlem ve teorik çalışmadan sonra, 1596'da yayınlanan "Mysterium Cosmographicum" kitabında sunduğu yörüngelerin boyutlarını oldukça doğru bir şekilde hesapladığı aşağıdaki teoriyi yarattı: Dev bir küre hayal edin, çapı, güneş etrafındaki yıllık hareketinde Merkür'ün yörüngesinin çapıdır. O zaman bu kürenin üzerinde düzgün bir oktahedron, üzerinde bir küre, üzerinde bir ikosahedron, üzerinde bir küre, üzerinde bir onikiyüzlü, üzerinde başka bir küre, üzerinde bir tetrahedron, sonra tekrar bir küre, bir küp olduğunu hayal edin. ve son olarak, bu küpte top tarif edilir.

Kepler, birbirini izleyen bu kürelerin çaplarının diğer gezegenlerin yörüngelerinin çapları olduğu sonucuna vardı: Merkür, Venüs, Dünya, Mars, Jüpiter ve Satürn. Teori çok doğru görünüyordu. Ne yazık ki, bu deneysel verilerle çakıştı. Ve bir matematik kuramının doğruluğunun, deneysel verilerle veya özellikle "gökten alınmış" gözlemsel verilerle örtüşmesinden daha iyi ne olabilir? Bu hesaplamaları Tablo 2'de özetliyorum. Peki Kepler ne yaptı? İşe yarayana kadar, yani konfigürasyon (kürelerin sırası) ve sonuçta ortaya çıkan hesaplamalar gözlemsel verilerle çakışana kadar denedim ve denedim. İşte modern Kepler rakamları ve hesaplamaları:

Teorinin büyüsüne kapılıp, atölyenin sessizliğinde yapılan hesaplamaların değil, gökyüzündeki ölçümlerin yanlış olduğuna inanılabilir. Ne yazık ki, bugün en az dokuz gezegen olduğunu ve tüm sonuçların tesadüflerinin sadece bir tesadüf olduğunu biliyoruz. Yazık. Çok güzeldi...