ters çekicilik

Sadece matematikte değil, "karşıtların çekiciliği" hakkında çok fazla konuşma var. Zıt sayıların yalnızca işaretleri farklı olan sayılar olduğunu unutmayın: artı 7 ve eksi 7. Zıt sayıların toplamı sıfırdır. Ama biz (yani matematikçiler) için karşılıklılar daha ilginç. Sayıların çarpımı 1 ise bu sayılar birbirinin tersidir. Her sayının tersi vardır, sıfır olmayan her sayının tersi vardır. Karşılıklının karşılığı tohumdur.

Ters çevirme, iki niceliğin birbiriyle ilişkili olduğu her yerde meydana gelir, böylece biri artarsa ​​diğeri buna karşılık gelen oranda azalır. "İlgili", bu miktarların çarpımının değişmediği anlamına gelir. Okuldan hatırlıyoruz: bu ters bir orantı. Hedefime iki kat daha hızlı ulaşmak istiyorsam (yani süreyi yarıya indirmek) hızımı iki katına çıkarmam gerekiyor. Gazla kapatılmış bir kabın hacmi n kat azaltılırsa, basıncı n kat artacaktır.

İlköğretimde, diferansiyel ve göreli karşılaştırmaları dikkatli bir şekilde birbirinden ayırırız. "Daha ne kadar"? – “Kaç kez daha?”

İşte bazı okul etkinlikleri:

Görev 1. İki pozitif değerden birincisi ikincisinden 5 kat, aynı zamanda birincisinden 5 kat daha büyüktür. boyutlar nedir?

Görev 2. Bir sayı ikinciden 3, ikincisi üçüncüden 2 büyükse, birinci sayı üçüncüden ne kadar büyüktür? Birinci pozitif sayı ikincinin iki katı ve ilk sayı üçüncünün üç katı ise birinci sayı üçüncüden kaç defa büyüktür?

Görev 3. Görev 2'de yalnızca doğal sayılara izin verilir. Orada anlatıldığı gibi bir düzenleme mümkün mü?

Görev 4. İki pozitif değerden birincisi ikincinin 5 katı, ikincisi ise birincinin 5 katıdır. Mümkün mü?

"Ortalama" veya "ortalama" kavramı çok basit görünüyor. Pazartesi 55 km, Salı 45 km, Çarşamba 80 km bisiklet sürdüysem günde ortalama 60 km bisiklet sürdüm. Bir günde 60 km yol yapmadığım için biraz tuhaf gelse de bu hesaplara yürekten katılıyoruz. Bir kişinin payını da aynı şekilde kolayca kabul ediyoruz: Altı gün içinde iki yüz kişi bir restoranı ziyaret ederse, günlük ortalama ücret 33 ve üçüncü kişidir. Hm!

Sadece ortalama boyutta sorunlar var. Bisiklet sürmeyi severim. Bu yüzden seyahat acentesinin "Hadi bizimle gidelim" teklifinden yararlandım - müşterinin eğlence amaçlı bisiklet sürdüğü otele bagaj teslim ediyorlar. Cuma günü dört saat sürdüm: ilk ikisi saatte 24 km hızla. Sonra o kadar yoruldum ki sonraki ikisi için saatte sadece 16 oranında. Ortalama hızım neydi? Elbette (24+16)/2=20km=20km/s.

Ancak cumartesi günü valizler otele bırakıldı ve 24 km uzaklıktaki kale kalıntılarını görmeye gittim ve onları gördükten sonra geri döndüm. Bir yönde bir saat sürdüm, daha yavaş geri döndüm, saatte 16 km hızla. Otel-kale-otel güzergahındaki ortalama hızım ne kadardı? saatte 20 km? Tabii ki değil. Sonuçta, toplam 48 km sürdüm ve bir saat (“orada”) ve bir buçuk saat geri döndüm. İki buçuk saatte 48 km, yani. saat 48/2,5=192/10=19,2 km! Bu durumda ortalama hız aritmetik ortalama değil, verilen değerlerin harmoniğidir:

ve bu iki katlı formül şu şekilde okunabilir: pozitif sayıların harmonik ortalaması, karşılıklılarının aritmetik ortalamasının tersidir. Terslerin toplamının tersi, okul ödevlerinin birçok korosunda görülür: bir işçi saat, diğeri - b saat, o zaman birlikte çalışarak zamanında kazarlar. su havuzu (saatte bir, diğer b saatte). Bir direnç R1'e ve diğerinde R2'ye sahipse, paralel bir dirence sahiptirler. 

Bir bilgisayar bir sorunu saniyeler içinde, başka bir bilgisayar b saniye içinde çözebiliyorsa, birlikte çalıştıklarında...

Durmak! Analoji burada sona eriyor, çünkü her şey ağın hızına bağlı: bağlantıların verimliliği. İşçiler ayrıca birbirlerine engel olabilir veya yardım edebilirler. Bir adam kuyuyu sekiz saatte kazabiliyorsa, seksen işçi bunu saatin 1/10'unda (veya 6 dakikada) yapabilir mi? Altı kapı görevlisi piyanoyu 6 dakikada birinci kata çıkarırsa, içlerinden birinin piyanoyu altmışıncı kata götürmesi ne kadar sürer? Bu tür problemlerin saçmalığı, tüm matematiğin "hayattan" problemlere sınırlı uygulanabilirliğini akla getiriyor.

Güçlü bir satıcı hakkında 

Terazi artık kullanılmıyor. Hatırlayın ki, bu tür terazilerin bir kabına ağırlık, diğerine de tartılan mallar konuldu ve ağırlık dengeye gelince mallar ağırlık kadar tartıldı. Elbette ağırlık yükünün her iki kolu da aynı uzunlukta olmalıdır, aksi halde tartım hatalı olacaktır.

Ah doğru. Eşit olmayan kaldıraca sahip bir ağırlığa sahip bir satış elemanı düşünün. Ancak müşterilere karşı dürüst olmak istiyor ve malları iki partide tartıyor. İlk olarak, bir kefeye ağırlık, diğerine de karşılık gelen miktarda mal koyar - böylece teraziler dengede olur. Sonra malların ikinci "yarısını" ters sırada tartar, yani ağırlığı ikinci kaseye, malları da birincisine koyar. Eller eşit olmadığı için "yarımlar" asla eşit değildir. Ve satıcının vicdanı rahat ve alıcılar dürüstlüğünü övüyor: "Burada ne çıkardım, sonra ekledim."

Ancak, belirsiz ağırlığına rağmen dürüst olmak isteyen bir satıcının davranışına daha yakından bakalım. Terazinin kollarının uzunlukları a ve b olsun. Kaselerden birine bir kilogram ağırlık ve diğerine x eşya yükleniyorsa, birinci seferde ax = b ve ikinci seferde bx = a ise terazi dengededir. Yani eşyanın birinci kısmı b/a kilograma, ikinci kısmı a/b'ye eşittir. İyi ağırlık a = b'ye sahiptir, bu nedenle alıcı 2 kg mal alacaktır. a ≠ b olduğunda ne olacağını görelim. Sonra a – b ≠ 0 ve indirgenmiş çarpma formülünden elimizdeki

Beklenmedik bir sonuca ulaştık: Bu durumda ölçümün "ortalamalarını almanın" adil görünen yöntemi, daha fazla mal alan alıcının yararına çalışıyor.

Görev 5. (Önemli, hiçbir şekilde matematikte değil!). Bir sivrisinek 2,5 miligram ve bir fil beş ton ağırlığındadır (bu oldukça doğru bir veridir). Sivrisinek ve fil kütlelerinin (ağırlıklarının) aritmetik ortalamasını, geometrik ortalamasını ve harmonik ortalamasını hesaplayın. Hesaplamaları kontrol edin ve aritmetik alıştırmalar dışında bir anlam ifade edip etmediklerini görün. "Gerçek hayatta" bir anlam ifade etmeyen diğer matematiksel hesaplama örneklerine bakalım. İpucu: Bu makalede zaten bir örneğe baktık. Bu, internette bulduğum fikri bilinmeyen bir öğrencinin doğru olduğu anlamına mı geliyor: “Matematik insanları sayılarla kandırıyor”?

Evet, matematiğin ihtişamıyla insanları "kandırabileceğinize" katılıyorum - her ikinci şampuan reklamında bir, bunun kabarıklığı bir yüzde artırdığını söylüyor. Suç faaliyetleri için kullanılabilecek diğer günlük faydalı araç örneklerini arayalım mı?

Gram!

Bu pasajın başlığı bir fiildir (birinci çoğul şahıs) bir isim değil (kilogramın binde birinin yalın çoğul hali). Uyum, düzen ve müzik anlamına gelir. Eski Yunanlılar için müzik bir bilim dalıydı - kabul edilmelidir ki, böyle söylersek, "bilim" kelimesinin mevcut anlamını çağımızdan önceki zamana aktarıyoruz. Pisagor MÖ XNUMX. yüzyılda yaşadı.Sadece bir bilgisayar, cep telefonu ve e-posta bilmediği gibi, Robert Lewandowski, Mieszko I, Charlemagne ve Cicero'nun kim olduğunu da bilmiyordu. Arap rakamlarını ve hatta Roma rakamlarını bilmiyordu (MÖ XNUMX. yy civarında kullanılmaya başlandı), Pön Savaşlarının ne olduğunu bilmiyordu ... Ama müziği biliyordu ...

Yaylı çalgılarda titreşim katsayılarının tellerin titreşen kısımlarının uzunluğuyla ters orantılı olduğunu biliyordu. Biliyordu, biliyordu, bugün bizim yaptığımız gibi ifade edemedi.

Bir oktavı oluşturan iki tel titreşiminin frekansları 1:2 oranındadır, yani yüksek notanın frekansı alt notanın frekansının iki katıdır. Beşinci için doğru titreşim oranı 2:3, dördüncü 3:4, salt majör üçlü 4:5, minör üçlü 5:6'dır. Bunlar hoş ünsüz aralıklardır. Sonra, 6:7 ve 7:8 titreşim oranlarına sahip iki nötr, ardından ahenksiz olanlar vardır - büyük bir ton (8:9), küçük bir ton (9:10). Bu kesirler (oranlar), matematikçilerin (tam da bu nedenle) harmonik dizi dedikleri bir dizinin ardışık üyelerinin oranları gibidir:

teorik olarak sonsuz bir toplamdır. Oktavın salınımlarının oranı 2:4 şeklinde yazıp aralarına bir beşli koyabiliriz: 2:3:4 yani oktavı bir beşli ve bir dördüncü olarak ayıracağız. Buna matematikte harmonik segment bölümü denir:

Pirinç. 1. Bir müzisyen için: AB oktavını beşinci AC'ye bölmek.Matematikçi için: Harmonik Bölütleme

Harmonik seriler gibi teorik olarak sonsuz bir toplamdan (yukarıda) bahsettiğimde ne demek istiyorum? Böyle bir toplamın herhangi bir büyük sayı olabileceği ortaya çıktı, asıl mesele uzun süre eklememiz. Daha az ve daha az içerik var, ancak daha çok var. Ne hakim? Burada matematiksel analiz alanına giriyoruz. Malzemelerin tükendiği, ancak çok hızlı olmadığı ortaya çıktı. Yeterli malzemeyi alarak özetleyebileceğimi göstereceğim:

keyfi olarak büyük. "Örneğin" n = 1024'ü alalım. Kelimeleri şekildeki gibi gruplayalım:

Her parantezde, her kelime bir öncekinden daha büyüktür, tabii ki kendisine eşit olan sonuncusu hariç. Aşağıdaki parantezlerde 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 ve 512 bileşenimiz var; her parantez içindeki toplamın değeri ½'den büyüktür. Bütün bunlar 5½'den fazla. Daha doğru hesaplamalar bu miktarın yaklaşık 7,50918 olduğunu gösterecektir. Çok değil, ama her zaman ve n'yi herhangi bir büyük alarak, herhangi bir sayıdan daha iyi performans gösterebileceğimi görebilirsiniz. Bu inanılmaz derecede yavaş (örneğin, yalnızca malzemelerle ilk ona girdik), ancak sonsuz büyüme matematikçileri her zaman büyülemiştir.

Harmonik seri ile sonsuzluğa yolculuk

İşte oldukça ciddi bir matematik bulmacası. Diyelim ki 4 × 2 × 1 boyutlarında sınırsız sayıda dikdörtgen blok (ne diyebilirim ki, dikdörtgen!) var. incir. 2 - dört) blok, birincisi uzunluğunun ½'si kadar, ikincisi yukarıdan ¼'ü kadar, üçüncüsü altıda biri kadar eğimli olacak şekilde düzenlenmiş. Pekala, belki gerçekten sağlam hale getirmek için ilk tuğlayı biraz daha az yatıralım. Hesaplamalar için önemli değil.

Pirinç. 2. Ağırlık merkezinin belirlenmesi

İlk iki bloktan (yukarıdan sayılarak) oluşan şeklin B noktasında bir simetri merkezi olduğundan, B'nin ağırlık merkezi olduğunu anlamak da kolaydır. Üstteki üç bloktan oluşan sistemin ağırlık merkezini geometrik olarak tanımlayalım. Burada çok basit bir argüman yeterlidir. Üç bloklu kompozisyonu zihinsel olarak iki üst ve üçüncü bir alt olarak ayıralım. Bu merkez, iki parçanın ağırlık merkezlerini birleştiren kısımda olmalıdır. Bu bölümde hangi noktada?

Tanımlamanın iki yolu vardır. İlkinde, bu merkezin üç bloklu piramidin ortasında, yani ikinci, orta bloğu kesen düz bir çizgi üzerinde olması gerektiği gözlemini kullanacağız. İkinci şekilde, üstteki iki bloğun toplam kütlesi 3 numaralı (üstteki) tek bloğun toplam kütlesinin iki katı olduğundan, bu bölümdeki ağırlık merkezinin B'ye merkeze göre iki kat daha yakın olması gerektiğini anlıyoruz. Üçüncü bloğun S. Benzer şekilde, bir sonraki noktayı buluyoruz: üç bloğun bulunan merkezini dördüncü bloğun merkezi S ile birleştiriyoruz. Tüm sistemin merkezi 2 yüksekliğinde ve parçayı 1'den 3'e (yani uzunluğunun ¾'ü) bölen noktadadır.

Biraz daha yapacağımız hesaplamalar, Şekil XNUMX'de gösterilen sonuca yol açar. şekil 3. Alt bloğun sağ kenarından ardışık ağırlık merkezleri şu şekilde kaldırılır:

Böylece, piramidin ağırlık merkezinin izdüşümü daima taban içindedir. Kule devrilmeyecek. şimdi bakalım incir. 3 ve bir an için, üstten beşinci bloğu taban olarak kullanalım (daha parlak renkle işaretlenmiş olan). Üst eğimli:

bu nedenle, sol kenarı, tabanın sağ kenarından 1 daha fazladır. İşte bir sonraki salıncak:

En büyük salıncak nedir? Bunu zaten biliyoruz! En büyük yok! En küçük blokları bile alarak, bir kilometrelik bir çıkıntı elde edebilirsiniz - ne yazık ki, sadece matematiksel olarak: tüm Dünya bu kadar çok blok inşa etmek için yeterli olmaz!

Pirinç. 3. Daha fazla blok ekleyin

Şimdi yukarıda bıraktığımız hesaplamalar. Tüm mesafeleri x ekseni üzerinde "yatay olarak" hesaplayacağız, çünkü hepsi bu kadar. A noktası (ilk bloğun ağırlık merkezi) sağ kenardan 1/2'dir. B noktası (iki blok sisteminin merkezi) ikinci bloğun sağ kenarından 1/4 uzaktadır. Başlangıç ​​noktası ikinci bloğun sonu olsun (şimdi üçüncüye geçeceğiz). Örneğin, tek blok #3'ün ağırlık merkezi nerede? Bu bloğun uzunluğunun yarısı, bu nedenle referans noktamızdan 1/2 + 1/4 = 3/4'tür. C noktası nerede? Segmentin 3/4 ve 1/4 arasındaki üçte ikisinde, yani önceki noktada, referans noktasını üçüncü bloğun sağ kenarına değiştiriyoruz. Üç bloklu sistemin ağırlık merkezi artık yeni referans noktasından kaldırılmıştır ve bu böyle devam eder. Ağırlık merkezi C_n n bloktan oluşan bir kule, taban bloğunun sağ kenarı olan anlık referans noktasından 1/2n uzaktadır, yani üstten n'nci blok.

Karşılıklı diziler birbirinden ayrıldığından, herhangi bir büyük varyasyon elde edebiliriz. Bu gerçekten uygulanabilir mi? Sonsuz bir tuğla kule gibidir - er ya da geç kendi ağırlığı altında çökecektir. Şemamızda, blok yerleştirmedeki minimum yanlışlıklar (ve serilerin kısmi toplamlarındaki yavaş artış), çok uzağa gitmeyeceğimiz anlamına geliyor.