göze beş kez

2020'nin sonunda, üniversitelerde ve okullarda çeşitli etkinlikler yapıldı, ertelendi ... Mart. Bunlardan biri de Pi gününün "kutlanması" idi. Bu vesileyle, 8 Aralık'ta Silesia Üniversitesi'nde uzaktan bir konferans verdim ve bu makale dersin bir özetidir. Tüm parti 9.42'de başladı ve dersim 10.28'de planlandı. Böyle bir doğruluk nereden geliyor? Çok basit: 3 çarpı pi yaklaşık 9,42'dir ve π üzeri 2. kuvvet yaklaşık 9,88'dir ve saat 9 üzeri 88. kuvvet 10 üzeri 28'dir ...

Bu numarayı onurlandırma geleneği, bir dairenin çevresinin çapına oranını ifade eden ve bazen Arşimet sabiti olarak adlandırılan (Almanca konuşan kültürlerde olduğu gibi), ABD'den geliyor (Ayrıca bakınız: ). 3.14 Mart 22:22'de “Amerikan tarzı”, fikir buradan geliyor. Lehçe eşdeğeri 7 Temmuz olabilir çünkü 14/XNUMX kesri π'ye çok yakın, ki bunu… Arşimet zaten biliyordu. Pekala, XNUMX Mart yan etkinlikler için en uygun zaman.

Bu üç ve on dört yüzde birlik, okuldan ömür boyu bizimle kalan birkaç matematiksel mesajdan biridir. Bunun ne anlama geldiğini herkes biliyor"göze beş kez". Dile o kadar yerleşmiş ki, farklı ve aynı zarafetle ifade etmek zor. Araba tamirhanesine onarımın ne kadara mal olabileceğini sorduğumda, tamirci bunu düşündü ve "beş kat yaklaşık sekiz yüz zloti" dedi. Durumdan yararlanmaya karar verdim. "Kaba bir tahmin mi demek istiyorsun?" Tamirci yanlış duyduğumu düşünmüş olmalı ki, "Tam olarak ne kadar bilmiyorum ama bir gözün beş katı 800 eder" diye tekrarladı.

.

Neyle ilgili? İkinci Dünya Savaşı öncesi yazımında "hayır" birlikte kullanılıyordu ve ben onu orada bıraktım. "Altın bir gemi mutluluk pompalar" fikrini sevsem de, burada gereksiz yere şatafatlı şiirle uğraşmıyoruz. Öğrencilere sorun: Bu düşünce ne anlama geliyor? Ancak bu metnin değeri başka bir yerde yatıyor. Aşağıdaki kelimelerdeki harf sayısı pi uzantısının rakamlarıdır. Bir göz atalım:

Π 3,141592 653589 793238 462643 383279 502884 197169 399375 105820 974944 592307 816406 286208 998628 034825 342117 067982 148086 513282 306647 093844 609550 582231 725359 408128 481117 450284

1596'da Alman asıllı Hollandalı bir bilim adamı Ludolph van Seulen pi'nin değerini 35 ondalık basamağa kadar hesapladı. Daha sonra bu figürler mezarına işlenmiştir. Pi sayısına ve Nobel ödüllü kişiye bir şiir adadı, Vislava Şimborska. Szymborska, bu sayının periyodik olmamasından ve 1 olasılıkla her bir sayı dizisinin, örneğin bizim telefon numaramızın orada görünmesi gerçeğinden büyülenmişti. İlk özellik (okuldan hatırlamamız gereken) her irrasyonel sayının doğasında bulunurken, ikincisi kanıtlaması zor olan ilginç bir matematiksel gerçektir. Şunu sunan uygulamalar bile bulabilirsiniz: Bana telefon numaranızı verin, size pi'de nerede olduğunu söyleyeyim.

Yuvarlaklığın olduğu yerde uyku vardır. Yuvarlak bir gölümüz varsa, etrafında yürümek yüzmekten 1,57 kat daha uzundur. Elbette bu, geçeceğimizden bir buçuk ila iki kat daha yavaş yüzeceğimiz anlamına gelmiyor. 100m dünya rekoru ile 100m dünya rekorunu paylaştım. İlginç bir şekilde, erkeklerde ve kadınlarda sonuç hemen hemen aynıdır ve 4,9'dur. Koştuğumuzdan 5 kat daha yavaş yüzüyoruz. Kürek çekmek tamamen farklıdır - ama ilginç bir meydan okumadır. Oldukça uzun bir hikayesi var.

Yakışıklı ve asil İyi Olan, peşindeki Kötü Adamdan kaçarak göle yelken açtı. Kötü adam kıyı boyunca koşar ve onun onu karaya çıkarmasını bekler. Tabii ki, Dobry sıralarından daha hızlı koşar ve düzgün koşarsa, Dobry daha hızlıdır. Yani Kötü'nün tek şansı kıyıdan İyi'yi almaktır - bir tabancadan isabetli bir atış bir seçenek değildir, çünkü. Good, Evil'in bilmek istediği değerli bilgilere sahiptir.

Good, aşağıdaki stratejiye bağlıdır. Gölün karşısına yüzerek yavaş yavaş kıyıya yaklaşıyor, ancak her zaman rastgele sola, sonra sağa koşan Kötü Olan'ın karşı tarafında olmaya çalışıyor. Bu şekilde gösterilmiştir. Evil başlangıç ​​konumu Z olsun₁ve Dobre gölün ortasıdır. Zly, Z'ye hareket ettiğinde₁, Dobro D'ye yelken açacak.₁Kötü Z'deyken₂, iyi D₂. Zigzag şeklinde, ancak kurala uygun olarak akacaktır: Z'den mümkün olduğunca uzağa. Ancak, gölün merkezinden uzaklaştıkça, Good daha büyük ve daha büyük dairelerde hareket etmelidir ve bir noktada yapamaz. “Kötülüğün diğer tarafında olmak” ilkesine bağlı kalın. Sonra Şeytan'ın gölün yanından geçmemesini umarak tüm gücüyle kıyıya kürek çekti. İyi başarılı olacak mı?

Cevap, Kötü'nün bacaklarının değerine göre İyi'nin ne kadar hızlı kürek çekebileceğine bağlıdır. Kötü Adam'ın göldeki İyi Adam'ın hızının s katı kadar bir hızla koştuğunu varsayalım. Sonuç olarak, İyi'nin Kötü'ye direnmek için kürek çekebileceği en büyük dairenin yarıçapı, bir gölün yarıçapından bir kat daha küçüktür. Yani, elimizdeki çizimde. W noktasında, Türümüz kıyıya doğru kürek çekmeye başlar. Bu gitmeli 

 hız ile

Zamana ihtiyacı var.

Wicked en iyi ayaklarının peşinden koşuyor. Seçilen birimlere bağlı olarak saniye veya dakika sürecek olan dairenin yarısını tamamlaması gerekir. Bu bir mutlu sondan daha fazlasıysa:

İyi olan gidecek. Basit hesaplar, olması gerekeni gösterir. Kötü Adam, İyi Adamın 4,14 katından daha hızlı koşarsa, sonu iyi olmaz. Burada da pi sayımız devreye giriyor.

Yuvarlak olan güzeldir. Üç dekoratif tabak fotoğrafına bakalım - onları ailemden sonra aldım. Aralarındaki eğrisel üçgenin alanı nedir? Bu basit bir iştir; cevap aynı fotoğrafta. Formülde görünmesine şaşırmadık - sonuçta yuvarlaklığın olduğu yerde pi de var.

Muhtemelen yabancı bir kelime kullandım:. Bu, Almanca konuşulan kültürde pi sayısının adıdır ve tüm bunlar Hollandalılar sayesinde (aslında Hollanda'da yaşayan bir Alman - o zamanlar milliyet önemli değildi), Seul'lü Ludolf... 1596 g. genişletmesinin 35 basamağını ondalık sayıya kadar hesapladı. Bu kayıt 1853 yılına kadar tutuldu. William Rutherford 440 koltuk sayıldı. Manuel hesaplamalar için kayıt sahibi (muhtemelen sonsuza kadar) William Shanksuzun yıllar çalıştıktan sonra (1873'te) yayınladı 702 haneye kadar uzatma. Sadece 1946'da, son 180 hanenin yanlış olduğu bulundu, ancak öyle kaldı. 527 doğru. Böceğin kendisini bulmak ilginçti. Shanks'ın sonucunun yayınlanmasından kısa bir süre sonra, "bir şeylerin yanlış olduğundan" şüphelendiler - şüphe uyandıracak şekilde geliştirilmekte olan birkaç yedili vardı. Henüz kanıtlanmamış (Aralık 2020) hipotezi, tüm sayıların aynı sıklıkta görünmesi gerektiğini belirtir. Bu, D.T. Ferguson'u Shanks'ın hesaplamalarını gözden geçirmeye ve "öğrencinin" hatasını bulmaya sevk etti!

Daha sonra hesap makineleri ve bilgisayarlar insanlara yardım etti. Mevcut (Aralık 2020) kayıt sahibi Timothy Mullican (50 trilyon ondalık basamak). Hesaplamalar ... 303 gün sürdü. Haydi oynayalım: Standart bir kitapta basılan bu sayının ne kadar yer kaplayacağı. Yakın zamana kadar, metnin yazdırılan "tarafı" 1800 karakterdi (30 satıra 60 satır). Karakter sayısını ve sayfa kenar boşluklarını azaltalım, sayfa başına 5000 karakteri sıkıştıralım ve 50 sayfa kitap basalım. Yani XNUMX trilyon karakter on milyon kitap alacaktı. Fena değil, değil mi?

Soru şu ki, böyle bir mücadelenin amacı nedir? Tamamen ekonomik bir bakış açısından, vergi mükellefi matematikçilerin bu tür "eğlenceleri" için neden ödeme yapsın? Cevap zor değil. Birinci, Seul'den hesaplamalar için icat boşluklar, daha sonra logaritmik hesaplamalar için yararlıdır. Eğer kendisine 'lütfen boşluklar yapın' denilseydi, o şu cevabı verirdi: neden? Benzer şekilde komut:. Bildiğiniz gibi, bu keşif tamamen tesadüfi değil, yine de farklı bir araştırma türünün yan ürünüydü.

İkinci olarak, yazdıklarını okuyalım. Timothy Mullican. İşte çalışmasının başlangıcının bir reprodüksiyonu. Profesör Mullican siber güvenlikle uğraşıyor ve pi o kadar küçük bir hobi ki yeni siber güvenlik sistemini üzerinde test etti.

Ve mühendislikteki 3,14159 fazlasıyla yeterli, bu başka bir konu. Basit bir hesap yapalım. Jüpiter, Güneş'ten 4,774 Tm uzaklıktadır (terametre = 1012 metre). Böyle bir yarıçapa sahip böyle bir dairenin çevresini 1 milimetrelik saçma bir hassasiyetle hesaplamak için π = 3,1415926535897932 almak yeterli olacaktır.

Aşağıdaki fotoğraf, Lego tuğlalarının çeyrek dairesini göstermektedir. 1774 ped kullandım ve yaklaşık 3,08 pi idi. En iyisi değil, ama ne bekleniyor? Daire karelerden oluşamaz.

Aynen öyle. pi sayısı biliniyor çember kare - 2000 yıldan fazla bir süredir çözümünü bekleyen bir matematik problemi - Yunan döneminden beri. Alanı verilen dairenin alanına eşit olan bir kare oluşturmak için bir pergel ve cetvel kullanabilir misiniz?

"Dairenin karesi" terimi, konuşma diline imkansız bir şeyin sembolü olarak girmiştir. Anahtara basıp soruyorum, bu güzel ülkemizin vatandaşlarını birbirinden ayıran düşmanlık siperini doldurma girişimi mi? Ama bu konudan zaten kaçınıyorum çünkü muhtemelen sadece matematikte hissediyorum.

Ve yine aynı şey - dairenin karesini alma probleminin çözümü, çözümün yazarının, Charles Lindemann, 1882'de kuruldu ve sonunda başardı. Bir dereceye kadar evet, ancak geniş bir cepheden gelen bir saldırının sonucuydu. Matematikçiler farklı sayı türleri olduğunu öğrendiler. Sadece tamsayılar değil, rasyonel (yani kesirler) ve irrasyonel. Ölçülemezlik ayrıca daha iyi veya daha kötü olabilir. İrrasyonel sayının √2 olduğunu, bir karenin köşegen uzunluğunun kenar uzunluğuna oranını ifade eden bir sayı olduğunu okuldan hatırlayabiliriz. Herhangi bir irrasyonel sayı gibi, belirsiz bir uzantıya sahiptir. Periyodik genişlemenin rasyonel sayıların bir özelliği olduğunu hatırlatmama izin verin, yani. özel tam sayılar:

Burada 142857 sayı dizisi sonsuza kadar tekrarlanır √2 için bu olmayacak - bu irrasyonalitenin bir parçasıdır. Ama sen yapabilirsin:

(kesir sonsuza kadar gider). Burada bir model görüyoruz, ancak farklı bir tip. Pi o kadar yaygın bile değil. Cebirsel bir denklemi çözerek elde edilemez - yani, ne karekök, ne logaritma, ne de trigonometrik fonksiyonlar. Bu zaten inşa edilebilir olmadığını gösteriyor - daireler çizmek ikinci dereceden fonksiyonlara ve çizgiler - düz çizgiler - birinci dereceden denklemlere yol açıyor.

Belki de ana plandan saptım. Sadece tüm matematiğin gelişimi, kökenlere - bugün bazıları tarafından çok şüpheli olan Avrupa düşünce kültürünü bizim için yaratan düşünürlerin eski güzel matematiğine geri dönmeyi mümkün kıldı.

Pek çok temsili modelden ikisini seçtim. Bunlardan ilki soyadı ile ilişkilendiriyoruz Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Ama o, Sangamagram'ın (1350-1425) ortaçağ Hindu alimi Madhava tarafından biliniyordu (model, Leibniz değil). O zamanlar bilgi aktarımı pek iyi değildi - İnternet bağlantıları genellikle hatalıydı ve cep telefonları için pil yoktu (çünkü elektronik henüz icat edilmemişti!). Formül güzel, ancak hesaplamalar için işe yaramaz. Yüz içerikten "sadece" 3,15159 elde edilir.

o biraz daha iyi Viète'nin formülü (ikinci dereceden denklemlerden olan) ve formülünün programlanması kolaydır çünkü üründeki sonraki terim önceki artı ikinin karekökü olur.

Çemberin yuvarlak olduğunu biliyoruz. Bunun yüzde 100'lük bir döngü olduğunu söyleyebiliriz. Matematikçi soracak: Bir şey yüzde 1 yuvarlak olamaz mı? Görünüşe göre, bu bir oksimoron, örneğin sıcak buz gibi gizli bir çelişki içeren bir ifade. Ama şekillerin ne kadar yuvarlak olabileceğini ölçmeye çalışalım. S'nin alanı ve L'nin şeklin çevresi olduğu aşağıdaki formülle iyi bir ölçü verildiği ortaya çıktı. Dairenin gerçekten yuvarlak olduğunu, sigmanın 6 olduğunu öğrenelim. Dairenin alanı çevredir. Ekliyoruz ... ve neyin doğru olduğunu görüyoruz. Kare ne kadar yuvarlak? Hesaplar da bu kadar basit, onları vermeyeceğim bile. Yarıçapı olan bir daireye yazılmış normal bir altıgen alın. Çevre açıkça XNUMX.

kutup

Normal bir altıgen nasıl olur? Çevresi 6 ve alanı

Böylece sahibiz

bu da yaklaşık olarak 0,952'ye eşittir. Altıgen %95'ten fazla "yuvarlak"tır.

Bir spor stadyumunun yuvarlaklığı hesaplanırken ilginç bir sonuç elde edilir. IAAF kurallarına göre, sapmalara izin verilmesine rağmen, düzlükler ve virajlar 40 metre uzunluğunda olmalıdır. Oslo'daki Bislet Stadyumu'nun dar ve uzun olduğunu hatırlıyorum. "Oldu" yazdım çünkü (bir amatör için!) Üzerinde koştum bile, ama XNUMX yıldan fazla bir süre önce. Bir göz atalım:

Yayın yarıçapı 100 metre ise, o yayın yarıçapı metredir. Çim alanı metrekaredir ve bunun dışındaki alan (sıçrama tahtalarının bulunduğu) toplam metrekaredir. Bunu formüle yerleştirelim:

Peki bir spor stadyumunun yuvarlaklığının eşkenar üçgenle bir ilgisi var mı? Çünkü bir eşkenar üçgenin yüksekliği, kenar sayısının aynı sayıdadır. Rastgele bir sayı tesadüfü, ama güzel. Beğendim. Ve okuyucular?

Hepimizi etkileyen virüs yuvarlak olduğu için bazıları itiraz etse de yuvarlak olması iyi. En azından öyle çiziyorlar.