Hiçbir şey hakkında makale

Çocukken, muhtemelen pek çok okuyucunun bildiği "çivideki çorba" hikayesi beni büyülemişti. Büyükannem (XNUMX. yüzyılda doğmuş) bunu bana "Bir Kazak geldi ve su istedi, çünkü çivisi vardı ve onunla çorba pişirirdi." Meraklı ev hanımı ona bir tencere su verdi... ve sonra ne olduğunu biliyoruz: "Çorba tuzlu olmalı, daitya, büyükanne, tuz ekle", sonra "tadı güzelleştirmek için" eti yıkadı vb. Sonunda “haşlanmış” çiviyi attı.

Yani bu makalenin uzayın boşluğuyla ilgili olması gerekiyordu - ve bu, Avrupa uzay aracının 67 Kasım 12'te 2014P/Churyumov-Gerasimenko kuyruklu yıldızına inişiyle ilgili. Ancak yazarken uzun süredir devam eden bir alışkanlığa yenik düştüm. , Ben hala bir matematikçiyim. durumu nasıl Beğenmekс Sıfır matematik?

Nasıl Hiçbir Şey Yoktur?

Hiçbir şeyin var olduğu söylenemez. En azından felsefi, matematiksel, dini ve tamamen gündelik bir kavram olarak var. Sıfır sıradan bir sayıdır, termometredeki sıfır derece aynı zamanda bir sıcaklıktır ve bir bankadaki bakiyenin sıfır olması hoş olmayan ama yaygın bir olaydır. Kronolojide sıfır yıl olmadığını unutmayın ve bunun nedeni, sıfırın matematiğe yalnızca Orta Çağ'ın sonlarında, keşiş Dionysius (XNUMX. yüzyıl) tarafından önerilen kronolojiden daha sonra tanıtılmış olmasıdır.

Garip bir şekilde, aslında bu sıfır olmadan ve dolayısıyla negatif sayılar olmadan da yapabilirdik. Mantık ders kitaplarından birinde bir alıştırma buldum: Balıkların yokluğunu nasıl hayal ettiğinizi çizin veya söyleyin. Şaşırtıcı, değil mi? Herkes balık çizebilir ama birinin yokluğu?

Şimdi kısaca temel matematik dersi. Üzeri çizili daire ∅ ile işaretlenmiş boş bir kümeye varoluş ayrıcalığını vermek, sayılar kümesine sıfır eklemeye benzer gerekli bir prosedürdür. Boş küme, hiçbir elemanı olmayan tek kümedir. Bu tür koleksiyonlar:

Ancak iki farklı boş küme yoktur. Boş küme diğer tüm kümelere dahildir:

Aslında matematiksel mantığın kuralları, bir A kümesinin bir B kümesinde yer aldığını ancak ve ancak aşağıdaki cümlenin geçerli olduğunu söyler:

bu şunu gerektirir

Boş bir ∅ kümesi durumunda önerme her zaman yanlıştır ve dolayısıyla mantık yasalarına göre çıkarım bir bütün olarak doğrudur. Her şey bir yalandan kaynaklanıyor (“Bir sonraki derse geçersen kaktüs yetiştireceğim…”). Şimdi, boş küme diğerlerinin her birinin içinde bulunduğuna göre, eğer bunlar iki farklı küme olsaydı, her biri diğerinin içinde yer alırdı. Ancak iki küme birbirinin içinde yer alıyorsa bunlar eşittir. Nedeni şu: sadece bir tane boş küme var!

Boş kümenin varlığına ilişkin varsayım herhangi bir matematik yasasıyla çelişmiyor, öyleyse neden onu hayata geçirmeyelim? Felsefi bir prensip olarak adlandırılanOccam'ın usturası"Gereksiz kavramların hariç tutulması için bir emir, ancak tam olarak doğru boş küme kavramı matematikte çok faydalıdır. Boş kümenin -1 (eksi bir) boyutunda olduğunu unutmayın - sıfır boyutlu elemanlar noktalar ve onların seyrek sistemleri, tek boyutlu elemanlar çizgilerdir ve fraktal boyutlu çok karmaşık matematiksel elemanlardan ilgili bölümde bahsetmiştik. fraktallar.

Matematiğin tüm yapısının: sayılar, rakamlar, fonksiyonlar, operatörler, integraller, diferansiyeller, denklemler... tek bir kavramdan, boş kümeden türetilebilmesi ilginçtir! Boş bir küme olduğunu varsaymak yeterlidir; yeni oluşturulan öğeler kümeler halinde birleştirilebilir. tüm matematiği inşa et. Alman mantıkçı Gottlob Frege doğal sayıları bu şekilde oluşturdu. Null, elemanları boş kümenin elemanlarıyla karşılıklı olarak karşılık gelen bir küme sınıfıdır. Bunlardan biri, tek elemanı boş küme olan bir kümenin elemanları ile karşılıklı karşılık gelen elemanları olan bir kümeler sınıfıdır. İki, elemanları boş kümeden oluşan kümenin elemanları ve tek elemanı boş küme olan kümeyle bire bir olan kümelerin sınıfıdır... vb. İlk bakışta bu çok karmaşık bir şey gibi görünüyor, ancak gerçekte öyle değil.

Mavi olan üzerime yayıldı,

funda kokuyordu ve nane kokuyordu...

Wojciech Mlynarski, “Hasattan Gelen Kız”

Hayal etmek zor

Hiçbir şeyi hayal etmek zor değil. Stanislaw Lem'in "Dünya Nasıl Kurtarıldı" adlı öyküsünde tasarımcı Trurl, harften başlayarak her şeyi yapacak bir makine yaptı. Klapaucius inşa edilmesini emrettiğinde Nic, makine dünyadaki çeşitli nesneleri kaldırmaya başladı - nihai hedef her şeyi ortadan kaldırmaktı. Korkmuş Klapaucius arabayı durdurduğunda, kadırgalar, porsuk ağaçları, asılı olanlar, karalamalar, tekerlemeler, corollalar, puflar, öğütücüler, şişler, filidronlar ve donlar dünyadan sonsuza kadar kaybolmuştu. Ve gerçekten de sonsuza dek ortadan kayboldular...

Józef Tischner, Dağ Felsefesinin Tarihi adlı eserinde hiçlik hakkında çok güzel şeyler yazmıştır. Son tatilimde bu hiçliği deneyimlemeye karar verdim, yani Podhale'de Nowy Targ ile Jablonka arasındaki turba bataklıklarına gittim. Bu bölgeye Pustachia bile deniyor. Araba sürersiniz, sürersiniz ama yol daha da küçülmez; elbette bizim mütevazı Polonya ölçeğimizde. Bir keresinde Kanada'nın Saskatchewan eyaletinde otobüsle seyahat etmiştim. Pencerenin dışında bir mısır tarlası vardı. Yarım saat kadar kestirdim. Uyandığımda aynı mısır tarlasından geçiyorduk... Ama durun, boş mu? Bir anlamda değişimin yokluğu sadece boşluktur.

Etrafımızda çeşitli nesnelerin sürekli varlığına alışığız ve bir şey gözlerin kapalı olsa bile kaçamazsın. Descartes "Düşünüyorum öyleyse varım" demiş. Zaten bir şey düşünmüşsem, bu benim var olduğum anlamına gelir ve bu, dünyada en azından bir şeyin (yani benim) var olduğu anlamına gelir. Düşündüğüm şey var mı? Bu tartışılabilir, ancak modern kuantum mekaniğinde Heisenberg ilkesi bilinmektedir: her gözlem, gözlenen nesnenin durumunu bozar. Biz onu görene kadar Nic o yoktur ve biz bakmaya başladığımızda nesne olmayı bırakır Beğenmek ve olur bir şey. Bu saçmalığa yol açar antropik prensip: Biz olmasaydık dünya nasıl olurdu diye sormanın bir anlamı yok. Dünya bize göründüğü gibidir. Belki diğer canlılar Dünya'yı köşeli olarak görecektir?

Bir pozitron (bu kadar pozitif bir elektron) uzayda bir deliktir, "elektron yoktur." Yok olma işlemi sırasında bir elektron bu deliğe atlar ve “hiçbir şey olmaz”; ne bir delik ne de bir elektron vardır. İsviçre peynirindeki deliklerle ilgili pek çok şakayı atlayacağım (“ne kadar çoksa, o kadar az…”). Ünlü besteci John Cage zaten fikirlerini o kadar kullanmış ki, orkestranın 4 dakika 33 saniye boyunca hareketsiz durduğu ve elbette hiçbir şey çalmadığı bir müzik eseri (?) bestelemiş (?). Besteci (?) "Dört dakika otuz üç saniye iki yüz yetmiş üç, 273 ve eksi 273 derece mutlak sıfırdır, bu noktada tüm hareketler durur" diye açıkladı.

Sıfıra filtrele, hiçbir şey, nick, nick, hiçbir şey, sıfır!

Andrzej Wajda'nın Yıllar İçinde filminde Jerzy,

günler geçiyor"

Her şey nasıl?

Pek çok insan (basit tahıl yetiştiricilerinden önde gelen filozoflara kadar) varoluş olgusunu merak etmiştir. Matematikte durum basittir: tutarlı olan bir şey vardır.

Kenar tarlalarda kayboldu

Peygamber çiçeklerinde, yabani otlarda ve aslanın ağzında...

Peki olur böyle şeyler

Özellikle hasat sırasında ve hasat sırasında

özellikle…

Wojciech Mlynarski, “Hasattan Gelen Kız”

Her şey Hiçlik'in diğer ucundadır. Matematikte biliniyor ki Her şey mevcut değil. Onun varlığının tartışmalardan arınmış olacağını hayal etmek kesinlikle yanlıştır. Bu, eski paradoks örneğiyle anlaşılabilir: "Eğer Tanrı her şeye gücü yetiyorsa, o zaman almak için bir taş mı yaratın?" Tüm kümelerden oluşan bir kümenin olamayacağının matematiksel kanıtı şu teoreme dayanmaktadır: şarkıcı-Berstein"sonsuz bir sayı" olduğunu söyleyen (matematiksel olarak: asıl sayı) Belirli bir kümenin tüm üyelerinin kümesi, bu kümenin eleman sayısından daha büyüktür.

Bir kümenin elemanları varsa 2 tane vardırⁿ alt kümeler; örneğin = 3 olduğunda ve küme {1, 2, 3}'ten oluştuğunda aşağıdaki alt kümeler mevcuttur:

• üç adet iki elemanlı küme: her birinde 1, 2, 3 sayılarından biri eksik
• bir boş set,
• üç tekli set,
• tüm set {1,2,3}

– toplam sekiz, 2³Okuldan yeni mezun olan okuyucularımıza ise ilgili formülü hatırlatmak isterim:

Bu formüldeki Newton sembollerinin her biri, -element kümesindeki k-element kümelerinin sayısını belirler.

Matematikte, binom katsayıları ilginç kısaltılmış çarpma formülleri gibi başka birçok yerde de görülür:

ve tam biçimlerine bakılırsa çok daha ilginç olan şey, onların karşılıklı bağımlılığıdır.

Mantık ve matematik açısından neyin olduğunu, neyin olmadığını anlamak zordur. Varolmama lehine argümanlar Konuğu Tigger'a kibarca Tigger'lar balı, meşe palamudu ve devedikeni sever mi diye soran Winnie the Pooh'un argümanları ile aynı. "Kaplanlar her şeyi sever" diye yanıtladı ve Kubus, her şeyi seviyorlarsa bunun yerde uyumayı da sevdikleri anlamına geldiği, dolayısıyla kendisinin, Vinnie'nin yatağa dönebileceği sonucuna vardı.

Başka bir argüman Russell'ın paradoksu. Kasabada, kendini tıraş etmeyen bütün erkekleri tıraş eden bir berber var. Kendini tıraş mı ediyor? Her iki yanıt da, yalnızca bunu kendileri yapmayanları öldürdükleri yönündeki koşulla çelişiyor.

Tüm koleksiyonların koleksiyonunu arıyorum

Sonuç olarak, tüm kümelerden oluşan bir kümenin olmadığına (bununla karıştırılmaması gereken) dair zekice ama en matematiksel bir kanıt vereceğim.

İlk olarak, boş olmayan herhangi bir X kümesi için, bu kümeyi P(X) alt kümelerine eşleyen, karşılıklı olarak benzersiz bir fonksiyon bulmanın imkansız olduğunu göstereceğiz. Bu fonksiyonun var olduğunu varsayalım. Buna geleneksel f diyelim. f(x) nedir? Bu bir koleksiyon. xf, x'e ait mi? Bu bilinmiyor. Ya zorundasın ya da değilsin. Ancak bazı x'ler için yine de f(x)'e ait olmayacak şekilde olmalıdır. O halde x'in f(x)'e ait olmadığı tüm x'lerin kümesini düşünün. Onu (bu kümeyi) A ile gösterelim. X kümesinin bir a elemanına karşılık gelir. a, A'ya ait midir? zorunda olduğunuzu varsayalım. Ama A, yalnızca x'in f(x)'e ait olmayan elemanlarını içeren bir kümedir... Peki, belki de A'ya ait değildir? Ancak A kümesi bu özelliğin tüm elemanlarını ve dolayısıyla A kümesini içerir. İspatın sonu.

Bu nedenle, eğer tüm kümelerden oluşan bir küme olsaydı, kendisi de kendisinin bir alt kümesi olurdu ki bu, önceki akıl yürütmeye göre imkansızdır.

Pek çok okuyucunun bu kanıtı okuduğunu sanmıyorum. Daha ziyade, matematikçilerin on dokuzuncu yüzyılın sonunda kendi bilimlerinin temellerini incelemeye başladıklarında ne yapmak zorunda olduklarını göstermek için konuyu gündeme getiriyorum. Sorunların kimsenin beklemediği yerde olduğu ortaya çıktı. Üstelik temellerle ilgili şu argümanlar tüm matematik için konu dışıdır: Bodrumlarda ne olursa olsun, matematik binasının tamamı sağlam kayaların üzerinde duruyor.

Bu arada en üst düzeyde...

Stanislaw Lem'in hikayelerinden bir ders daha verelim. Iyon Tichi, seyahatlerinden birinde, sakinleri uzun bir evrimin ardından nihayet en yüksek gelişme aşamasına ulaşan bir gezegene ulaştı. Hepsi güçlü, her şeyi yapabilirler, her şey parmaklarının ucundadır... ve hiçbir şey yapmazlar. Kumun üzerine uzanıp parmaklarının arasına döküyorlar. Şok Yijong'a "Her şey mümkünse buna değmez" diye açıklıyorlar. Avrupa uygarlığımızın başına bunlar gelmesin...