KİMİN İÇİN, yani: ELİNİZDEN GELEN YERDE DENEYİN - PART 2

Bir önceki bölümde, sayıların temel olarak belirli kurallara göre çeşitli diyagramlarda düzenlendiği bir aritmetik oyunu olan Sudoku'yu ele aldık. En yaygın varyant 9×9 satranç tahtasıdır ve ek olarak dokuz 3×3 hücreye bölünmüştür. 1'den 9'a kadar olan sayılar, dikey bir sırada (matematikçiler şöyle der: bir sütunda) veya yatay bir satırda (matematikçiler şöyle der: bir satırda) tekrar etmeyecek şekilde ayarlanmalıdır - ve ayrıca, böylece tekrar etmezler. herhangi bir küçük kare içinde tekrarlayın.

Na incir. 1 Bu bulmacayı daha basit bir versiyonda görüyoruz, 6 × 6 dikdörtgene bölünmüş 2 × 3 kare. 1, 2, 3, 4, 5, 6 sayılarını içine yerleştiriyoruz - böylece dikey olarak da tekrar etmesinler. yatay olarak veya seçilen altıgenlerin her birinde.

Üst karede gösterilmeyi deneyelim. Bu oyun için belirlenen kurallara göre 1'den 6'ya kadar sayılarla doldurabilir misin? Mümkün - ama belirsiz. Bakalım - sola bir kare veya sağa bir kare çizin.

Bunun yapbozun temeli olmadığını söyleyebiliriz. Genellikle bir bulmacanın tek bir çözümü olduğunu varsayıyoruz. "Büyük" Sudoku 9x9 için farklı temeller bulma görevi zor bir iştir ve tamamen çözme şansı yoktur.

Bir diğer önemli bağlantı ise çelişkili sistemdir. Alt orta kare (sağ alt köşede 2 rakamı olan) tamamlanamıyor. Neden?

Eğlence ve İnziva Yerleri

üzerinde oynuyoruz. Çocukların sezgilerini kullanalım. Eğlencenin öğrenmeye bir giriş olduğuna inanıyorlar. Hadi uzaya gidelim. açık incir. 2 herkes ızgarayı görüyor dörtyüzlütoplardan, örneğin pinpon toplarından? Okul geometri derslerini hatırlayın. Resmin sol tarafındaki renkler, bloğu monte ederken neye yapıştırıldığını açıklar. Özellikle üç köşe (kırmızı) top bir tanesine yapıştırılacaktır. Bu nedenle, aynı sayıda olmalıdırlar. Belki 9. Neden? Ve neden olmasın?

oha ben cümle kurmadım задачи. Kulağa şöyle geliyor: 0'dan 9'a kadar olan sayıları, her yüzün tüm sayıları içermesi için görünür ızgaraya yazmak mümkün müdür? Görev zor değil, ama ne kadar hayal etmeniz gerekiyor! Okuyucuların zevkini bozmayacağım ve çözüm de vermeyeceğim.

Bu çok güzel ve hafife alınmış bir şekil. normal oktahedron, kare tabanlı iki piramitten (=piramitlerden) inşa edilmiştir. Adından da anlaşılacağı gibi, oktahedronun sekiz yüzü vardır.

Bir oktahedronda altı köşe vardır. çelişiyor кубaltı yüzü ve sekiz köşesi vardır. Her iki topağın kenarları aynıdır - her biri on iki. Bu çift ​​katılar - bu, küpün yüzlerinin merkezlerini birleştirerek bir oktahedron elde ettiğimiz ve oktahedronun yüzlerinin merkezlerinin bize bir küp vereceği anlamına gelir. Bu tümseklerin ikisi de çalışır ("çünkü yapmak zorundalar") Euler formülü: Köşe sayısı ile yüz sayısının toplamı kenar sayısından 2 fazladır.

3. Paralel izdüşümde düzgün bir oktahedron ve her kenarı dört küre olacak şekilde kürelerden oluşan bir oktahedron kafes.

Görev 1. İlk önce, bir önceki paragrafın son cümlesini matematiksel bir formül kullanarak yazın. Üzerinde incir. 3 yine kürelerden oluşan bir oktahedral ızgara görüyorsunuz. Her kenarda dört top vardır. Her yüz on küreden oluşan bir üçgendir. Sorun bağımsız olarak belirlenir: ızgaranın dairelerine 0'dan 9'a kadar sayılar koymak mümkün mü, böylece katı bir gövdeyi yapıştırdıktan sonra her duvar tüm sayıları içerir (bunu tekrarlamadan takip eder). Daha önce olduğu gibi, bu görevdeki en büyük zorluk, ağın nasıl sağlam bir gövdeye dönüştürüleceğidir. Bunu yazılı olarak açıklayamam, bu yüzden çözümü burada da vermiyorum.

4. Pinpon toplarından iki ikosahedron. Farklı renk şemasına dikkat edin.

zaten Platon (ve MÖ XNUMX.-XNUMX. yüzyıllarda yaşadı) tüm düzenli çokyüzlüleri biliyordu: tetrahedron, küp, oktahedron, dodecahedron i icosahedron. Oraya nasıl geldiği inanılmaz - kalem yok, kağıt yok, kalem yok, kitap yok, akıllı telefon yok, internet yok! Burada dodecahedron hakkında konuşmayacağım. Ancak ikosahedral sudoku ilginçtir. Bu yumruyu görüyoruz resim 4ve ağı şekil 5.

5. İkosahedronun düzenli ağı.

Daha önce olduğu gibi, bu okuldan hatırladığımız (?!) anlamda bir ızgara değil, toplardan (toplardan) üçgenleri yapıştırmanın bir yolu.

Görev 2. Böyle bir ikosahedron yapmak için kaç top gerekir? Aşağıdaki akıl yürütme doğru mudur: her yüz bir üçgen olduğundan, eğer 20 yüz olacaksa, o zaman 60 kadar küre gerekir mi?

6. Kürelerden bir ikosahedron ızgarası. Her daire örneğin bir pinpon topudur, ancak aynı renkle işaretlenmiş dairelerin üzerindeki dairelerin yapısı birleşir. Yani on iki küremiz var (= on iki köşe: kırmızı, mavi, mor, mavi ve sekiz sarı).

İkosahedrondaki üç sayının yeterli olmadığını görmek kolaydır. Daha doğrusu: köşeleri 1, 2, 3 sayılarıyla sıralamak imkansızdır, böylece her (üçgen) yüz bu üç sayıya sahip olur ve tekrar olmaz. Dört sayı ile mümkün mü? Evet mümkün! Şuna bakalım Pirinç. 6 ve 7.

7. İkosahedronu oluşturan kürelerin, her yüzün 1, 2, 3, 4'ten farklı sayılar içermesi için nasıl numaralandırılacağı aşağıda açıklanmıştır. 4 böyle mi renkli?

Görev 3. Dört sayıdan üçü dört şekilde seçilebilir: 123, 124, 134, 234. Şek. 7 (aynı zamanda illüstrasyonlar 4).

Görev 4 (çok iyi bir uzaysal hayal gücü gerektirir). İkosahedron on iki köşeye sahiptir, bu da on iki toptan birbirine yapıştırılabileceği anlamına gelir (incir. 7). 1 ile etiketlenmiş üç köşe (=top) olduğuna dikkat edin, üçü 2 ile vb. Böylece aynı renkteki toplar bir üçgen oluşturur. Bu üçgen nedir? Belki eşkenar? Tekrar bak illüstrasyonlar 4.

Büyükbaba / büyükanne ve torunu / torunu için bir sonraki görev. Ebeveynler de sonunda şansını deneyebilir, ancak sabır ve zamana ihtiyaçları var.

Görev 5. On iki (tercihen 24) pinpon topu, dört renk boya, bir fırça ve doğru yapıştırıcı satın alın - Süper Yapıştırıcı veya Damlacık gibi hızlı olanları tavsiye etmiyorum çünkü çok çabuk kururlar ve çocuklar için tehlikelidirler. İkosahedron üzerine yapıştırın. Torununuza hemen ardından yıkanacak (veya atılacak) bir tişört giydirin. Masayı folyo ile örtün (tercihen gazetelerle). İkosahedronu, Şekil 1'de gösterildiği gibi dört renk 2, 3, 4, XNUMX ile dikkatlice renklendirin. incir. 7. Sıralamayı değiştirebilirsiniz - önce balonları boyayın ve sonra yapıştırın. Aynı zamanda boyanın boyaya yapışmaması için minik daireler boyasız bırakılmalıdır.

Şimdi en zor görev (daha doğrusu, tüm dizileri).

Görev 6 (Daha spesifik olarak, genel tema). İkosahedronu bir tetrahedron ve bir oktahedron olarak çizin. Pirinç. 2 ve 3 Bu, her kenarda dört top olması gerektiği anlamına gelir. Bu varyantta, görev hem zaman alıcı hem de maliyetlidir. Kaç topa ihtiyacınız olduğunu bularak başlayalım. Her yüzün on küresi var, yani icosahedron'un iki yüze mi ihtiyacı var? HAYIR! Birçok topun paylaşıldığını unutmamalıyız. Bir ikosahedronun kaç kenarı vardır? Özenle hesaplanabilir, ancak Euler formülü ne işe yarar?

w–k+s=2

w, k, s sırasıyla köşelerin, kenarların ve yüzlerin sayısıdır. w = 12, s = 20 olduğunu hatırlıyoruz, yani k = 30. İkosahedronun 30 kenarı var. Bunu farklı yapabilirsiniz, çünkü 20 üçgen varsa, o zaman sadece 60 kenarı vardır, ancak ikisi ortaktır.

Kaç topa ihtiyacınız olduğunu hesaplayalım. Her üçgende yalnızca bir iç top vardır - ne vücudumuzun üstünde ne de kenarında. Böylece, toplam 20 topumuz var. 12 tepe var. Her kenarda iki köşe olmayan bilye vardır (bunlar kenarın içindedir, ancak yüzün içinde değildir). 30 kenar olduğu için 60 bilye vardır, ancak ikisi ortaktır, bu da sadece 30 bilyeye ihtiyacınız olduğu anlamına gelir, yani toplamda 20 + 12 + 30 = 62 bilyeye ihtiyacınız var. Toplar en az 50 peni karşılığında satın alınabilir (genellikle daha pahalı). Tutkalın maliyetini eklerseniz, ortaya çıkacaktır ... çok. İyi yapıştırma, birkaç saatlik özenli çalışma gerektirir. Birlikte dinlendirici bir eğlence için uygundurlar - örneğin TV izlemek yerine onları tavsiye ederim.

Digression 1. Andrzej Wajda'nın film dizisi Years, Days'de iki adam "bir şekilde akşam yemeğine kadar vakit geçirmeleri gerektiği için" satranç oynuyor. Galiçyaca Krakow'da geçiyor. Gerçekten de: gazeteler çoktan okundu (o zaman 4 sayfaları vardı), TV ve telefon henüz icat edilmedi, futbol maçı yok. Su birikintilerinde can sıkıntısı. Böyle bir durumda insanlar kendilerine eğlenceler bulmuşlardır. Bugün uzaktan kumandaya bastıktan sonra elimizde...

Digression 2. Matematik Öğretmenleri Derneği'nin 2019 toplantısında, İspanyol bir profesör, masif duvarları her renge boyayabilen bir bilgisayar programını gösterdi. Biraz ürkütücüydü çünkü sadece elleri çiziyorlardı, neredeyse vücudu kesiyordu. Kendi kendime düşündüm: böyle bir "gölgelemeden" ne kadar eğlenebilirsin? Her şey iki dakika sürer ve dördüncüde hiçbir şey hatırlamıyoruz. Bu arada, eski moda “iğne işi” sakinleştirir ve eğitir. Kim inanmaz, denemesine izin verin.

XNUMX. yüzyıla ve gerçeklerimize geri dönelim. Topların zaman alıcı yapıştırma şeklinde gevşeme istemiyorsak, o zaman en azından kenarları dört top olan bir ikosahedron ızgarası çizeceğiz. Nasıl yapılır? doğru doğra şekil 6. Dikkatli okuyucu zaten sorunu tahmin ediyor:

Görev 7. Tüm bu sayıların böyle bir ikosahedronun her yüzünde görünmesi için 0'dan 9'a kadar sayılarla topları numaralandırmak mümkün müdür?

Ne için ücret alıyoruz?

Bugün kendimize sık sık faaliyetlerimizin amacı sorusunu soruyoruz ve "gri vergi mükellefi" bu tür bulmacaları çözmek için neden matematikçilere ödeme yapması gerektiğini soracak?

Cevabı oldukça basit. Kendi içinde ilginç olan bu tür "bulmacalar", "daha ciddi bir şeyin parçası" dır. Ne de olsa, askeri geçit törenleri, zor bir hizmetin yalnızca harici, muhteşem bir parçasıdır. Sadece bir örnek vereceğim, ancak garip ama uluslararası kabul görmüş bir matematik konusuyla başlayacağım. 1852'de bir İngiliz öğrenci, profesörüne komşu ülkeler her zaman farklı renklerde gösterilecek şekilde bir haritayı dört renkle boyamanın mümkün olup olmadığını sordu. ABD'nin Wyoming ve Utah eyaletleri gibi tek noktada buluşanları "komşu" saymadığımızı da ekleyelim. Profesör bilmiyordu... ve sorun yüz yıldan fazla bir süredir bir çözüm bekliyordu.

8. RECO bloklarından Icosahedron. Flaş yansıtıcılar, ikosahedronun üçgen ve beşgen ile ortak yönünü gösterir. Her köşede beş üçgen birleşir.

Beklenmedik bir şekilde oldu. 1976'da bir grup Amerikalı matematikçi bu sorunu çözmek için bir program yazdı (ve karar verdiler: evet, dört renk her zaman yeterli olacaktır). Bu, bir "matematiksel makine" yardımıyla elde edilen matematiksel bir gerçeğin ilk kanıtıydı - bir bilgisayar yarım yüzyıl önce (ve hatta daha önce: "elektronik beyin") olarak adlandırıldı.

İşte özel olarak gösterilen bir “Avrupa haritası” (incir. 9). Ortak bir sınırı olan ülkeler birbirine bağlıdır. Haritayı renklendirmek, bu grafiğin dairelerini (grafik olarak adlandırılır) renklendirmekle aynıdır, böylece hiçbir bağlı daire aynı renk olmaz. Lihtenştayn, Belçika, Fransa ve Almanya'ya bakıldığında üç rengin yeterli olmadığı görülüyor. Dilerseniz Reader, dört renkle renklendirin.

9. Avrupa'da kim kiminle sınır komşusudur?

Evet, ama vergi mükelleflerinin parasına değer mi? Öyleyse aynı grafiğe biraz farklı bakalım. Devletlerin ve sınırların olduğunu unutun. Daireler, bir noktadan diğerine (örneğin, P'den EST'ye) gönderilecek bilgi paketlerini sembolize etsin ve segmentler, her biri kendi bant genişliğine sahip olan olası bağlantıları temsil etsin. En kısa sürede gönder?

İlk olarak, çok basitleştirilmiş ama aynı zamanda çok ilginç bir duruma matematiksel açıdan bakalım. Aynı bant genişliğine sahip bir bağlantı ağı kullanarak S noktasından (= başlangıç ​​olarak) M noktasına (= bitiş) bir şey göndermeliyiz, diyelim ki 1. incir. 10.

10. Statsyika Zdrój'dan Megapolis'e bağlantı ağı.

S'den M'ye yaklaşık 89 bit bilgi gönderilmesi gerektiğini düşünelim. Bu sözlerin yazarı trenlerle ilgili sorunları sever, bu yüzden 144 vagon göndermek zorunda olduğu Stacie Zdrój'da bir yönetici olduğunu hayal eder. metropol istasyonuna. Neden tam olarak 144? Çünkü, göreceğimiz gibi, bu, tüm ağın verimini hesaplamak için kullanılacaktır. Kapasite her lotta 1'dir, yani. zaman birimi başına bir araba geçebilir (bir bilgi biti, muhtemelen Gigabyte).

M'de tüm arabaların aynı anda buluşmasını sağlayalım. Herkes oraya 89 birim zamanda varıyor. S'den M'ye göndereceğim çok önemli bir bilgi paketim varsa, onu 144 birimlik gruplara böler ve yukarıdaki gibi iletirim. Matematik bunun en hızlısı olacağını garanti ediyor. 89'a ihtiyacın olduğunu nasıl bildim? Aslında tahmin ettim, ama tahmin etmeseydim, çözmem gerekirdi. Kirchhoff denklemleri (hatırlayan var mı? - bunlar akımın akışını açıklayan denklemlerdir). Ağ bant genişliği 184/89'dur ve bu yaklaşık olarak 1,62'ye eşittir.

sevinç hakkında

Bu arada, 144 numarayı seviyorum. Bu numarayla otobüse binmeyi sevdim - yanında restore edilmiş bir Kraliyet Kalesi olmadığında Varşova'daki Kale Meydanı'na. Belki genç okuyucular bir düzinenin ne olduğunu biliyorlardır. Bu 12 kopya, ancak yalnızca eski okuyucular bir düzine olduğunu hatırlıyor, yani. 122=144, sözde parti budur. Ve matematiği okul müfredatından biraz daha fazla bilen herkes bunu hemen anlayacaktır. incir. 10 Fibonacci sayılarımız var ve ağ bant genişliği "altın sayıya" yakın

Fibonacci dizisinde 144 tam kare olan tek sayıdır. Yüz kırk dört de "neşeli bir sayı"dır. Hintli bir amatör matematikçi böyle Dattatreya Ramachandra Caprecar 1955'te, basamaklarının toplamına bölünebilen sayıları adlandırdı:

bunu bilseydi Adam Mickiewicz, Dzyady'de kesinlikle hayır yazardı: “Tuhaf bir anneden; kanı eski kahramanlarıdır / Ve adı kırk dörttür, sadece daha zariftir: Ve adı yüz kırk dörttür.

Eğlenceyi ciddiye alın

Umarım okuyucuları Sudoku bulmacalarının kesinlikle ciddiye alınmayı hak eden soruların eğlenceli yanı olduğuna ikna edebilmişimdir. Bu konuyu daha fazla geliştiremem. Oh, sağlanan diyagramdan tam ağ bant genişliği hesaplaması incir. 9 bir denklem sistemi yazmak iki veya daha fazla saat, hatta belki onlarca saniye (!) bilgisayar çalışması gerektirir.