Lem, Tokarchuk, Krakow, matematik

Polonya Matematik Derneği'nin yıl dönümü kongresi 3-7 Eylül 2019 tarihlerinde Krakow'da gerçekleşti. Yıldönümü, çünkü Derneğin kuruluşunun yüzüncü yılı. Galiçya'da 1. yıllardan beri var oldu (imparator FJ1919'un Polonya liberalizminin sınırları olduğu sıfatı olmadan), ancak ülke çapında bir organizasyon olarak yalnızca 1919'dan itibaren faaliyet gösterdi. Polonya matematiğindeki büyük ilerlemeler, 1939'ların XNUMX-XNUMX'lerine kadar uzanıyor. Lviv'deki Jan Casimir Üniversitesi'nde XNUMX, ancak bölge ibadeti orada yapılamadı - ve bu da en iyi fikir değil.

Toplantı çok şenlikliydi ve eşlik eden olaylarla doluydu (Jacek Wojcicki'nin Niepolomice'deki şatodaki performansı dahil). Ana dersler 28 konuşmacı tarafından verildi. Lehçeydiler çünkü davetli misafirler Polonyalıydı - vatandaşlık anlamında değil ama kendilerini Polonyalı olarak kabul etmek anlamında. Ah evet, Polonya bilim kurumlarından sadece on üç öğretim görevlisi geldi, geri kalan on beşi ABD (7), Fransa (4), İngiltere (2), Almanya (1) ve Kanada'dan (1) geldi. Bu, futbol liglerinde iyi bilinen bir olgudur.

En iyiler sürekli olarak yurtdışında performans sergiliyor. Biraz üzücü ama özgürlük özgürlüktür. Birkaç Polonyalı matematikçi, Polonya'da erişilemeyen denizaşırı kariyerlere imza attı. Para burada ikincil bir rol oynuyor ama bu tür konularda yazmak istemiyorum. Belki sadece iki yorum.

Rusya'da ve ondan önce Sovyetler Birliği'nde, bu en bilinçli düzeydeydi ve şu anda da ... ve bir şekilde kimse oraya göç etmek istemiyor. Buna karşılık, Almanya'da, herhangi bir üniversitede profesörlük için yaklaşık bir düzine aday başvuruyor (Konstanz Üniversitesi'nden meslektaşları, bir yılda 120'si çok iyi ve 50'si mükemmel olmak üzere 20 başvuru aldıklarını söyledi).

Jübile Kongresi derslerinden birkaçı aylık dergimizde özetlenebilir. "Serbest Grafiklerin Limitleri ve Uygulamaları" veya "Altuzayların Lineer Yapısı ve Geometrisi ve Yüksek Boyutlu Normalleştirilmiş Uzaylar için Faktör Uzayları" gibi başlıklar ortalama okuyucuya hiçbir şey söylemeyecektir. İkinci konu ilk derslerden arkadaşım tarafından tanıtıldı, Nicole Tomçak.

Birkaç yıl önce, bu derste sunulan başarı için aday gösterildi. Alanlar Madalyası matematikçiler için eşdeğerdir. Şimdiye kadar sadece bir kadın bu ödülü aldı. Ayrıca dikkat edilmesi gereken ders Anna Marcinyak-Chohra (Heidelberg Üniversitesi) "Lösemi modellemesi örneğinde tıpta mekanik matematiksel modellerin rolü".

ilaca girdi. Varşova Üniversitesi'nde Prof. Jerzy Tyurin.

Dersin başlığı Okuyucular için anlaşılmaz olacak Veslava Niziol (z prestiżowej Yüksek Pedagoji Okulu) “-adic Hodge teorisi". Yine de, burada tartışmaya karar verdiğim bu konferanstır.

Geometri -adic dünyalar

Basit küçük şeylerle başlar. Hatırlıyor musun Okuyucu, yazılı değiş tokuş yöntemini? Kesinlikle. İlkokulun kaygısız yıllarını düşünün. 125051'i 23'e bölün (soldaki işlem budur). Farklı olabileceğini biliyor musunuz (sağdaki işlem)?

Bu yeni yöntem ilginç. Sondan gidiyorum. 125051'i 23'e bölmemiz gerekiyor. 23'ü son basamağı 1 olacak şekilde neyle çarpmamız gerekiyor? Bellekte arama yapıyoruz ve elimizde :=7 var. Sonucun son basamağı 7'dir. Çarp, çıkar, 489 elde ederiz. 23'ü 9'a getirmek için nasıl çarparsın? Tabii ki 3'e kadar. Sonucun tüm sayılarını belirlediğimiz noktaya geliyoruz. Bunu kullanışsız ve her zamanki yöntemimizden daha zor buluyoruz - ama bu bir uygulama meselesi!

Cesur adam bölen tarafından tamamen bölünmediğinde işler farklı bir hal alır. Bölmeyi yapalım ve ne olduğunu görelim.

Solda tipik bir okul parkuru var. Sağda "bizim tuhaf olanlarımız" var.

Her iki sonucu da çarparak kontrol edebiliriz. Birincisini anlıyoruz: 4675 sayısının üçte biri bin beş yüz elli sekiz ve periyotta üçtür. İkincisi mantıklı değil: Bu sayının önünde sonsuz sayıda altı ve sonra 8225 nedir?

Bir an için anlam sorusunu bırakalım. Hadi oynayalım. Öyleyse 1'i 3'e ve sonra 1'i 7'ye bölelim ki bu da üçte bir ve yedide birdir. Kolayca alabiliriz:

1:3=…6666667, 1/7=…(285714)3.

Bu son satır şu anlama gelir: 285714 bloğu başlangıçta süresiz olarak tekrar eder ve son olarak bunlardan üç tane vardır. İnanmayanlar için işte bir test:

Şimdi kesirleri ekleyelim:

Sonra alınan garip numaraları ekliyoruz ve aynı garip numarayı alıyoruz (kontrol ediyoruz).

......95238095238095238095238010

Bunun eşit olduğunu kontrol edebiliriz

İşin özü henüz görülmedi, ancak aritmetik doğru.

Bir örnek daha.

Her ne kadar büyük olsa da, 40081787109376 sayısının ilginç bir özelliği var: karesi de 40081787109376 ile bitiyor. x40081787109376 sayısı, yani ( x40081787109376)² ayrıca x40081787109376 ile biter.

Uç. 40081787109376 var²= 16065496 57881340081787109376, yani bir sonraki basamak üçün ona tümleyeni, bu da 7'dir. Kontrol edelim: 740081787109376²= 5477210516110077400817 87109376.

Bunun neden böyle olduğu sorusu zor bir sorudur. Daha kolay: 5 ile biten sayılar için benzer sonlar bulun. ²=²= (ve bu sayıların hiçbiri sıfıra veya bire eşit değildir).

iyi anlıyoruz. Ondalık noktadan sonra ne kadar uzak olursa, sayı o kadar az önemlidir. Mühendislik hesaplamalarında ikinci basamak kadar ondalık noktadan sonraki ilk basamak da önemlidir, ancak çoğu durumda bir dairenin çevresinin çapına oranının 3,14 olduğu varsayılabilir. Elbette havacılık sektörüne daha fazla sayının dahil edilmesi gerekiyor ama ondan fazla olacağını düşünmüyorum.

Adı makalenin başlığında göründü Stanislav Lem (1921-2006), hem de yeni Nobel ödüllü. Bayan Olga Tokarçuk sadece bundan bahsettim çünkü çığlık çığlığa adaletsizlikGerçek şu ki, Stanislav Lem Nobel Edebiyat Ödülü'nü almadı. Ama bizim köşemizde değil.

Lem sık sık geleceği öngördü. İnsanlardan bağımsız hale geldiklerinde ne olacağını merak etti. Son zamanlarda bu konuyla ilgili kaç film çıktı! Lem, optik okuyucuyu ve geleceğin farmakolojisini oldukça doğru bir şekilde öngördü ve tanımladı.

Matematiği biliyordu, bazen onu süs olarak görse de, hesaplamaların doğruluğunu umursamadan. Örneğin, "Deneme" hikayesinde, Pirks pilotu 68 saat 4 dakikalık bir dönüş süresiyle B29 yörüngesine girer ve talimat 4 saat 26 dakikadır. Yüzde 0,3 hata ile hesapladıklarını hatırlıyor. Verileri Hesap Makinesine verir ve hesap makinesi her şeyin yolunda olduğunu söyler ... Hayır, hayır. 266 dakikanın yüzdesinin onda üçü bir dakikadan azdır. Ancak bu hata bir şeyi değiştirir mi? Belki de kasıtlıydı?

Neden bu konuda yazıyorum? Birçok matematikçi de şu soruyu gündeme getirdi: bir topluluk hayal edin. Bizim insan aklımıza sahip değiller. Bizim için 1609,12134 ve 1609,23245 çok yakın sayılardır - İngiliz mili için iyi tahminler. Ancak bilgisayarlar 468146123456123456 ve 9999999123456123456 sayılarını yakın olarak kabul edebilir. Aynı on iki basamaklı sonlara sahipler.

Sondaki rakamlar ne kadar yaygınsa, sayılar o kadar yakın olur. Ve bu sözde mesafeye yol açar -adik. Bir an için p 10'a eşit olsun; neden sadece “bir süreliğine” açıklayacağım ... şimdi. Yukarıda yazılan sayıların 10 punto uzaklığı 

veya milyonda bir - çünkü bu sayıların sonunda altı ortak rakam vardır. Tüm tamsayılar sıfırdan bir veya daha az farklılık gösterir. Bir şablon bile yazmayacağım çünkü önemli değil. Sonunda ne kadar çok özdeş sayı varsa, sayılar o kadar yakındır (aksine, bir kişi için ilk sayılar dikkate alınır). P'nin bir asal sayı olması önemlidir.

Sonra - sıfırları ve birleri severler, bu yüzden her şeyi şu kalıplarda görürler: 0100110001 1010101101010101011001010101010101111.

Glos Pana romanında Stanisław Lem, ahiretten gönderilen ve elbette sıfır bir kodlu bir mesajı okumaya çalışmak için bilim adamlarını işe alır. Bize yazan var mı? Lem, "birinin bize bir şey söylemek istediği bir mesajsa, herhangi bir mesajın okunabileceğini" savunuyor. Ama öyle mi? Okuyucuları bu ikilemle baş başa bırakacağım.

XNUMX boyutlu uzayda yaşıyoruz R³. Mektup R eksenlerin okuyucuların okulda () tanıştığı gerçek sayılar, yani tam sayılar, negatif ve pozitif, sıfır, rasyonel (yani kesirler) ve irrasyonel ve cebirde erişilemeyen aşkın sayılar olarak bilinen sayılardan (bu sayı π iki bin yıldan fazla bir süredir bir dairenin çapını çevresiyle birleştiren).

Ya uzayımızın eksenleri -adic sayılar olsaydı?

Jerzy MioduszowskiSilesia Üniversitesi'nden bir matematikçi, bunun böyle olabileceğini, hatta böyle olabileceğini savunuyor. Biz (diyor Jerzy Mioduszewski) bu tür varlıklarla, birbirimizi görmeden ve karışmadan uzayda aynı yeri işgal edebiliriz.

Böylece, "onların" dünyasının keşfedilecek tüm geometrisine sahibiz. "Onların" bizim hakkımızda aynı şekilde düşünmeleri ve aynı zamanda geometrimizi incelemeleri olası değildir, çünkü bizimki tüm "onların" dünyalarının sınırda bir durumudur. "Onlar", yani asal sayılar oldukları tüm cehennemi dünyalar. Özellikle, = 2 ve bu büyüleyici sıfır-bir dünyası...

Burada makalenin okuyucusu kızabilir ve hatta kızabilir. "Bu, matematikçilerin yaptığı türden bir saçmalık mı?" Akşam yemeğinden sonra votka içip (=vergi mükellefinin) paramı kullanmayı hayal ediyorlar. Ve onları dört rüzgara dağıtın, bırakın devlet çiftliklerine gitsinler... oh, artık devlet çiftliği yok!

Rahatlamak. bu tür şakalara her zaman bir yatkınlıkları olmuştur. Sandviç teoreminden bahsetmeme izin verin: Eğer bir peynirli ve jambonlu sandviçim varsa, onu tek seferde keserek topuz, jambon ve peyniri ikiye bölebilirim. Bu pratikte işe yaramaz. Buradaki nokta, bunun işlevsel analizden elde edilen ilginç bir genel teoremin eğlenceli bir uygulaması olmasıdır.

-adic sayılar ve ilgili geometri ile uğraşmak ne kadar ciddi? Okuyucuya, rasyonel sayıların (basitçe: kesirler) yoğun bir şekilde satırda yer aldığını, ancak onu yakından doldurmadığını hatırlatmama izin verin.

İrrasyonel sayılar "deliklerde" yaşar. Birçoğu var, sonsuz sayıda, ancak sonsuzluklarının, saydığımız en basit olanlardan daha büyük olduğunu da söyleyebilirsiniz: bir, iki, üç, dört ... ve ∞'ye kadar. Bu bizim insani "delikler" doldurmamızdır. Bu zihinsel yapıyı miras aldık. pisagorcular. 

Ancak bir matematikçi için ilginç ve önemli olan, bu boşlukların irrasyonel ve p-adik sayılarla (tüm p asalları için) "doldurulamaması"dır. Bunu anlayan okuyucular için (ve bu otuz yıl önce her lisede öğretiliyordu), mesele şu ki, tatmin edici her dizi Cauchy'nin durumu, birleşir.

Bunun doğru olduğu bir boşluğa tam denir ("hiçbir şey eksik değildir"). 547721051611007740081787109376 numarasını hatırlayacağım.

0,5, 0,54, 0,547, 0,5477, 0,54772 vb. dizisi, yaklaşık olarak 0,5477210516110077400 81787109376 olan belirli bir sınıra yakınsar.

Bununla birlikte, 10-adic uzaklık açısından, 6, 76, 376, 9376, 109376, 7109376 vb. sayıların dizisi de "garip" sayıya yakınsar ... 547721051 611007740081787109376.

Ancak bu bile bilim adamlarına kamu parası vermek için yeterli neden olmayabilir. Genel olarak biz (matematikçiler) araştırmamızın ne işe yarayacağını tahmin etmenin imkansız olduğunu söyleyerek kendimizi savunuyoruz. Herkesin bir şekilde yararlı olacağı ve yalnızca geniş bir cephede eylemin başarı şansına sahip olacağı neredeyse kesindir.

En büyük icatlardan biri olan X-ışını makinesi, radyoaktivitenin kazara keşfedilmesinden sonra yaratıldı. Bekkerela. Bu durumda olmasaydı, uzun yıllar süren araştırmalar muhtemelen yararsız olurdu. "İnsan vücudunun röntgenini çekmenin bir yolunu arıyoruz."

Son olarak, en önemli şey. Denklemleri çözme yeteneğinin bir rol oynadığı konusunda herkes hemfikirdir. Ve burada garip numaralarımız iyi korunuyor. Karşılık gelen teorem (minkowski'den nefret ediyorum) bazı denklemlerin ancak ve ancak her adic gövdede gerçek kökleri ve kökleri varsa rasyonel sayılarda çözülebileceğini söylüyor.

Aşağı yukarı bu yaklaşım sunuldu Andrew Wiles, son üç yüz yılın en ünlü matematik denklemini çözen - okuyuculara bir arama motoruna girmelerini tavsiye ederim "Fermat'ın Son Teoremi".